La probabilité qu un composant présente un défaut est 0,02.

CORRECTION DE L EXERCICE 60 A FAIRE PENDANT LE COURS DU MARDI 31 MARS

Exercice 60 page 401

La probabilité qu un composant présente un défaut est 0,02.

Partie A.

On répète 50 fois de façon indépendante l expérience de Bernoulli qui consiste à choisir un composant et à noter s il est défectueux. La probabilité qu il le soit est 0,02. X compte le nombre de composants défectueux.

Alors X suit la loi binomiale de paramètres n 50 et p 0,002.

Ici, X ne suit pas une loi continue puisque X ne peut prendre que les valeurs 0 ; 1 ; 2 ; … ; 50 et non toutes les valeurs d un intervalle.

Attention : il est noté que les résultats doivent être arrondis à 10

donc avec deux chiffres après la virgule.

1.

a. P( X 2)  

  50

2 0,02

0,02)

0,19. La probabilité que deux composants soient défectueux est environ 0,19.

b. P( X 1) 1 P( X 0) 1 (1 0,02)

0,64. La probabilité qu au moins un composant soit défectueux est environ 0,64.

2. E( X) 50 0,02 1. En moyenne, un composant par lot est défectueux.

Partie B.

T

suit la loi exponentielle de paramètre 5 10

donc T

suit la loi de densité f

où f

est la fonction définie sur [0 [ par f

( x) 5 10

e

T

suit la loi exponentielle de paramètre 10

donc T

suit la loi de densité f

où f

est la fonction définie sur [0 [ par f

(x ) 10

e

.

1.

a. Si le composant est défectueux, sa durée de vie suit la loi exponentielle de paramètre

. On n utilise pas les probas conditionnelles ici.

Si le composant est défectueux, la probabilité que sa durée de vie soit supérieure à 1000 heures est P ( ^T

1000 ) 1 P ( ^T

1000 ) 1  

0

1000

f

(x )dx 1

 

  e

0 1000

1 ( ^e

^e

)

P ( ^T

¹⁰⁰⁰ ) ^e

^0,61

b. Si le composant n est pas défectueux, la probabilité que sa durée de vie soit supérieure à 1000 heures est :

P ( ^T

¹⁰⁰⁰ ) ^{1 P} ( ^T

¹⁰⁰⁰ ) ¹ _ ^

0

1000

f

(x )dx 1

 

  e

0 1000

1 ( ^e

^e

)

P ( ^T

¹⁰⁰⁰ ) ^e

^0,9

2. On peut construire un arbre de probabilités :

D est l événement : "le composant est défectueux.

On les calcule comme on l a fait dans la question 1b en remplaçant 1000 par t.

D et D forment une partition de . D après la formule des probabilités totales,

P(T t ) P( D) P

(T t ) P ( ) D P

(T t), c'est-à-dire P(T t ) 0,02e

0,98 e

3. Ici on sait que le composant fonctionne encore après 1000 heures donc sa durée de vie est supérieure ou égale à 1000. On cherche donc P

(D)

P

(D ) P((T 1000) D ) P( T 1000)

P(D) P

( T 1000)

P (T 1000)

P

(D ) 0,02 e

0,02e

0,98e

0,02e

0,02 e

0,98 e

0,01.

La probabilité que ce composant soit défectueux est environ 0,01.