Td 15

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TD n^o15 Variables aléatoires à densité-lois usuelles ECO1 LMA 2020/21

Exercice 1

Soitf la fonction définie surRpar :

f(x) = (

xe⁻^x2² six>0 0 sinon

1. Montrer quef est une densité de probabilité d’une variable aléatoireX 2. Déterminer la fonction de répartitionF^X deX.

3. Déterminer la loi deY =X²

Exercice 2

Si X et Y sont deux variables aléatoires réelles indépendantes suivant toutes deux une loi exponentielles, de paramètrea >0 pourX etb >0 pourY. Déterminer la loi de la variableZ =min(X, Y).

Exercice 3

SoitX une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre 1 2. 1. (a) Déterminer une densité deY =√

X.

(b) Déterminer un espérance et une variance deY. 2. Déterminer une densité deZ=X².

Exercice 4

SoitX une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètreλ >0. On poseY =⌊X⌋etZ =Y+ 1.

1. Déterminer la loi deY. 2. Reconnaître la loi deZ.

3. Déduire l’espérance de Y.

Exercice 5

Soit deux variablesX et U indépendantes oùX ֒→ N(0; 1) etU ֒→ U{−1;1}. On définiY =U X. 1. Montrer que

∀x∈R, P(Y 6x) = 1

2P(X6x) +1

2P(X >−x) 2. En déduire queY suit une loi normale centrée réduite.

Exercice 6

Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants en apparence tous identiques mais dont certains présentent un défaut. On estime que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02.

On suppose que la durée de vie T1 (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi exponentielle de paramètreλ1= 5×10⁻⁴ et que la durée de vie T2 (en heures) de chaque composant non défectueux suit une loi exponentielle de paramètreλ2= 10⁻⁴

SoitT la durée de vie (en heures) d’un composant acheté au hasard.

1. Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état de marche aprèstheures de fonction- nement estP(T >t) = 0,02e^−5×10⁻⁴^t+ 0,98e⁻¹⁰⁻⁴^t.

2. Sachant que le composant acheté est en état de fonctionner 1000 heures après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux ?

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Exercice 7

SoitX ֒→ U([0; 1]). Reconnaître la loi deT =−1

λln(1−X).

Exercice 8

X ֒→ N(0; 1) etY = e^X

DéterminerFY en fonction de Φ, puis déterminer une densité fY et calculer enfin E(Y), si elle existe, à l’aide d’un changement de variable.

Exercice 9

SoitF la fonction définie sur Rpar :

∀x≤0, F(x) = 0

∀x >0, F(x) = 1−e⁻^x²

1. Montrer que la fonction F définit une fonction de répartition de variable aléatoire dont on déterminera une densitéf.

2. SoitX une variable aléatoire admettantf pour densité.

(a) Montrer queX admet une espéranceE(X) et queE(X) =

√π 2 . (b) Déterminer, pour tout réely,la probabilité P X²≤y

.On distinguera les cas y≤0et y >0.

(c) Montrer que la variable aléatoireX² suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

Exercice 10

Une municipalité a lancé une étude concernant les problèmes liés aux transports.

A. Retards à un arrêt de bus.

On note X la variable aléatoire qui vaut le temps de retard (ou d’avance) d’un bus à un arrêt donné.

L’étude a montré que le retard moyen du bus est de 5 minutes et que la probabilité que ce retard soit inférieur à 7 minutes est égale àp= 0,8413. On suppose queX suit une loi normale

(a) Montrer queP(X 67) = Φ(²σ). En utilisant la table fournie en annexe du cours, déduire les valeurs de l’écart-type puis de la variance deX.

(b) Déterminer les probabilités :

⋆ que le bus ait plus de 9 minutes de retard

⋆ que le bus ait entre 2 minutes et deux minutes et demi de retard.

⋆ que le bus arrive exactement 5 minutes en retard.

B. Appels reçus par le standard d’une société de taxis.

Le nombre Yt d’appels reçus par le standard pendant une duréet suit une loi de poisson de paramètre (λ·t). Alice travaille à ce standard. On note T le temps attendu avant de recevoir son premier appel à partir du moment où elle prend son poste.

Par convention : P(T < t) = 0sit <0.

(a) Rappeler la loi, l’espérance et la variance deYt.

(b) Pour cette question uniquement, on considère quet= 60 minutes.

i. En utilisant la valeur deE(Y1), interpréter la valeur du paramètreλ.

ii. Alice ne reçoit qu’un appel en une heure. On numérote les minutes de 0 à 59 et on note M la minute où cet appel se produit. Déterminer l’espérance et la variance deM en reconnaissant une loi usuelle.

(c) Décrire en une phrase les événements [Y^t= 0] et [T > t].

DéduireP(T > t) puis P(T 6t)lorsquet est positif.

(d) Expliciter la fonction de répartitionF^T deT surR.

(e) Montrer alors queT est une variable à densité, et en préciser une densité.

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(f) Reconnaître une loi usuelle et déduire l’espérance deT.

(g) Pour quelle valeur de λ la probabilité qu’Alice reçoive un appel dans la première minute est-elle inférieure à une chance sur dix ?

(h) Exprimer à l’aide des données de l’énoncé, la probabilité sachant qu’Alice n’a pas reçu d’appels dans lesmpremières minutes, qu’Alice n’en reçoive pas non plus dans la minute qui suit.

Exercice 11

On note U une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètrep.

(a) Rappeler la loi deU, son espérance et sa variance.

On considère une variable aléatoireT telle que : ∀n∈N^∗, ∀t∈[0; +∞[, P(U=n)(T > t) =e⁻^nt. (b) i. Montrer : ∀t∈[0; +∞[, P (T > t) = p e⁻^t

1−q e⁻^t.

ii. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoireT.

iii. En déduire queT est une variable aléatoire à densité et en déterminer une densité.

(c) On noteZ =U T.

i. Montrer : ∀n∈N^∗, ∀z∈[0; +∞[, P(U=n)(Z > z) =e⁻^z.

ii. En déduire que la variable aléatoireZ suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

iii. Montrer : ∀n∈N^∗, ∀z∈[0; +∞[, P (U =n , Z > z) = P (U =n) P (Z > z).

Exercice 12

Soita ∈ R^∗₊. On admet que, pour tout entier n tel que n > 0, l’intégrale Iⁿ = Z +∞

0

xⁿe⁻

x2

2a2dx est convergente et queIn+2= (n+ 1)a²In.

(a) i. Rappeler une densité d’une variable aléatoire. qui suit la loi normale d’espérance nulle et de variancea².

En déduire : I0=a rπ

2. ii. CalculerI2.

iii. Calculer la dérivée de l’applicationϕ:R→Rdéfinie, pour toutx∈R,par :ϕ(x) =e⁻

x2

2a2

En déduire :I1=a² puis calculerI3.

On considère l’applicationg^a :R→Rdéfinie, pour toutx∈R, par : ga(x) =

( 0 six60 x

a²e⁻²^x2^a2 six >0 (b) Montrer queg^a est une densité.

On considère une variable aléatoireX admettantga comme densité.

(c) Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoireX.

(d) Montrer que la variable aléatoireX admet une espéranceE(X) et queE(X) =a rπ

2 (e) Montrer que la variable aléatoireX admet une varianceV(X) et calculerV(X).

(f) On considère une variable aléatoireU suivant la loi uniforme sur l’intervalle, ]0; 1]. Montrer que la variable aléatoireZ=ap

−2 ln (U) suit la même loi que la variable aléatoireX

Exercice 13

(a) Montrer que :∀t >0 ln(1 +t)> t 1 +t.

(b) Soitf la fonction définie pour tout réelxpar :f(x) =e⁻^xln(1 +e^x).

i. Pour tout réelx, calculerf^′(x) et en déduire les variations def. page 3

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ii. Calculer lim

x→−∞f(x) et lim

x→+∞f(x).

(c)

i. Pour tout réelx, vérifier que :f(x) = 1−f^′(x)− e^x 1 +e^x. En déduire, en fonction de f, une primitiveF def surR. ii. Montrer que l’intégrale impropre

+∞

R

0

f(x)dxest convergente et donner sa valeur.

(d) Soitαun réel etgla fonction définie par :g(x) = 0 six <0 etg(x) =αf(x) six>0.

Déterminerαpour quegpuisse être considérée comme densité d’une variable aléatoireX.

(e) La variableY =e^X admet-elle une espérance ?

Exercice 14

Dans cet exercice,ndésigne un entier naturel non nul.

(a) Soitfⁿ la fonction définie par : fⁿ(x) =

nxⁿ⁻¹ six∈[0; 1]

0 sinon

Montrer quefⁿ est une densité de probabilité.

(b) On considère une variable aléatoireXⁿ réelle dont une densité de probabilité estfⁿ. On dit alors que Xn suit une loi monôme d’ordren.

i. Reconnaître la loi de X1.

ii. Dans le cas oùnest supérieur ou égal à 2, déterminer la fonction de répartitionFⁿ deXⁿ, ainsi que son espéranceE(Xⁿ) et sa varianceV (Xⁿ).

(c) On considère deux variables aléatoiresUn et Vn définies sur le même espace probabilisé (Ω,A, P), suivant la loi monôme d’ordren (n>2) et indépendantes, c’est-à-dire qu’elles vérifient en particulier l’égalité suivante :

∀x∈R, P(Uⁿ 6x∩Vⁿ6x) =P(Uⁿ6x)P(Vⁿ 6x)

On pose Mn = sup (Uⁿ, Vn) et on admet que Mn est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur (Ω,A, P).

i. Pour tout réelx, écrire, en justifiant la réponse, l’événement (Mⁿ6x) à l’aide des événements (Uⁿ6x) et (Vⁿ 6x).

ii. En déduire une densité de Mn. Vérifier que Mn suit une loi monôme dont on donnera l’ordre, puis déterminer sans calculE(Mⁿ).

iii. On pose Tn = inf (Uⁿ, Vn). Exprimer Mn+Tn en fonction de Un et Vn, puis en déduire, sans calcul d’intégrale, la valeur deE(Tⁿ).

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