G240. Un cadenas défectueux
Le problème est isomorphe à celui faisant intervenir les 10 chiffres de 0 à 9 au lieu des 10 lettres de A à J. Représentons une combinaison xyz par le point (x, y, z) correspondant du cube discret de longueur 10. Si xyz est une combi- naison, alors, en faisant varier une seule des coordonnées, il existe 27 autres combinaisons équivalentes qu’il est donc inutile de tester. Il s’agit donc de « re- couvrir » intégralement le cube avec un minimum de combinaisons. Considérons un tel recouvrement minimal et montrons qu’il contient au moins 50 combinai- sons. Pour cela, considéronsS une section carrée parallèle à l’une des faces du cube et contenant un nombre minimal de combinaisons.
S’il y a plus de 5 combinaisons, alors en considérant les 9 autres sections paral- lèles àS,nous en déduisons qu’il y a plus de 50 combinaisons.
Sinon il y en a au plus 5, réparties sur l ligne(s) et c colonne(s) telles que 1 6 c, l 6 5. Nous allons minorer le nombre de combinaisons en distinguant deux sous-ensembles deS,les points non recouverts et les lignes recouvertes.
En effet, (10−l) (10−c) points de S ne sont pas recouverts. Considérons l’un de ces points. Pour qu’il soit recouvert, il doit y avoir une combinaison parmi les 9 autres points situés sur le segment perpendiculaire àS contenant le point.
Au total, cela nécessite (10−l) (10−c) combinaisons.
De plus, tout plan contenant l’une desllignes et perpendiculaire àScontient au moins max (c, l)>c points par minimalité deS.En étendant ce raisonnement auxl lignes, cela nécessite au total au moinsclcombinaisons.
Ainsi il y aura au moins (10−l) (10−c) +cl = 2 (5−c) (5−l) + 50 > 50 combinaisons. Dans les deux cas, le minimum de 50 combinaisons ne pourrait être atteint qu’avec des sections contenant exactement 5 points, deux points n’étant jamais situés sur une même rangée.
Pour terminer, nous vérifions que les 25 combinaisons 000, 011, 022, 033, 044, 101, 112, 123, 134, 140, 202, 213, 224, 230, 241, 303, 314, 320, 331, 342, 404, 410, 421, 432, 443 (obtenues par un simple crible) et celles obtenues en remplaçant ipari+ 5 permettent de couvrir toutes les possibilités à 1 chiffre près. Il faut donc un temps minimum de 150 secondes, soit 2 minutes et 30 secondes.
Remarque : il s’agit d’un problème de couverture d’un cube avec des sphères de rayon 1 (au sens de la distance de Hamming)
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