A366 ‒ Les nombres octogonaux.
Problème proposé par Michel Lafond
On dit qu'un nombre réel positif est OCTOGONAL s'il est la somme de nombres réels positifs dont les écritures décimales ne comportent que le chiffre 8.
Exemple 129,6 = 88 + 8,8 + 8,8 + 8 + 8 + 8 est octogonal.
Q1 Démontrer que 100 est octogonal.
Q2 Démontrer que tout entier supérieur ou égal à 170 est octogonal.
Q3 Écrire 2017 comme somme d'un nombre minimal de nombres réels positifs dont les écritures décimales ne comportent que le chiffre 8.
Solution de l'auteur.
Q1. 100 = 44 + 56 = = 8,8 + 8,8 + 8,8 + 8,8 + 8,8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 Q2. Remarquons que
Donc 44, 62, 71 sont octogonaux et il en sera ainsi de toutes leurs combinaisons linéaires.
Or :
Donc 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177 sont octogonaux et les suivants sont de la forme 170 + 8 k, 171 + 8 k, 172 + 8 k, 173 + 8 k, 174 + 8 k, 175 + 8 k, 176 + 8 k, 177 + 8 k donc sont aussi octogonaux.
Q3.
Q3.1
On a 2016 = 888,8 + 2 x 88,8 + 7 x 8,8 + 888 est obtenu avec 11 termes.
Q3.2
Soit un total de 2017 avec 20 termes.
2017 = 8,888 + 8,888 + 8,888 + 8,888 + 8,888 + 88,88 + 8,88 + 8,88 + 8,88 + 8,88 + 8,88 + 8,88 + 888,8 + 888,8 + 8,8 + 8,8 + 8,8 + 8,8 + 8,8 + 8,8
Il n’est pas interdit d’utiliser une infinité de 8 derrière la virgule, avec 8,888888… 88,888888… 888,888888…
mais les combinaisons du genre 2 x 888.888...+ 88,888... + 6 x 8,888...= 1920 ne semblent pas améliorer le score. Ces combinaisons ne produisent que des multiples de 8.
