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Il est clair que F (1

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Academic year: 2022

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(1)

Problème A351 – Solution de Jean Drabbe

Notons (a , b) → (c , d) pour indiquer que le couple (a , b) est remplacé par (c , d) lors de la transformation décrite dans l'énoncé.

Si (a , b) → (c , d) , on a évidemment a = b . c + d et d < b . (*)

Soit F (n) le couple (a , b) tel que a est le plus petit nombre qui, avec son acolyte b , nécessite n opérations pour obtenir 0 .

Il est clair que F (1) = (1 , 1) . D'autre part, il est très facile d'utiliser (*) pour établir par récurrence que

F (n) = (2 . (n!) – 1 , n + 1) . En particulier : F(13) = (12454041599 , 13) .

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