A366. Les nombres octogonaux ***
A3. Nombres remarquables
Problème proposé par Michel Lafond
On dit qu'un nombre réel positif est octogonal s'il est la somme de nombres réels positifs dont les écritures décimales ne comportent que le chiffre 8.
Exemple 129,6 = 88 + 8,8 + 8,8 + 8 + 8 + 8 est octogonal.
Q1 Démontrer que 100 est octogonal.
Q2 Démontrer que tout entier supérieur ou égal à 170 est octogonal.
Q3 Écrire1 respectivement 2016 et 2017 comme somme d'un nombre minimal de nombres réels positifs dont les écritures décimales ne comportent que le chiffre 8.
1Nota : l'écriture d'une infinité de chiffres 8,par exemple sous la forme 8,88... , est autorisée.
Solution proposée par Jean Nicot
Q1 - 100 = 8,8 + 8,8 + 8,8 + 8,8 + 8,8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 8,8x5 + 8x7 = 44+56 Q2 –
Les entiers de la forme 8k sont octogonaux.
44 = 8,8 x5 est octogonal. Les entiers de la forme 44+ 8k sont octogonaux
62 = 8,88 x5 + 8.8 x2 est octogonal donc les entiers de la forme 62 +8k sont octogonaux
62+44 = 106 = 8,88 x5 + 8,8 x7 est octogonal, donc les entiers de la forme 106 +8k sont octogonaux Tous les entiers pairs supérieurs à 105 sont octogonaux.
Remarquons que 8,888x5 + 8,88x2 +8,8 =71 est octogonal. Les entiers de la forme 71 +8k sont octogonaux.
71+62=133 est octogonal. Les entiers de la forme 133 +8k sont octogonaux.
71+44= 115 est octogonal. Les entiers de la forme 115 +8k sont octogonaux.
71+44+62 = 8,888x5 + 8,88x7 +8,8x8 = 177 est octogonal. Les entiers de la forme 177 +8k sont octogonaux. 169 n’est pas octogonal.
Tout entier supérieur ou égal à 170 est octogonal.
Q3- 2016 peut s’écrire 888+888+88+88+8+8+8+8+8+8+8+8=888(2fois)+88(2fois)+8(8fois) soit 12 termes.
On peut gagner un terme en utilisant 9 fois l’écriture infinie 8,8888… = 80/9
2016 = 888 + 888 + 88,888…(2fois) + 8,888….(7 fois) = 1776 + 80 + 80 + (80/9)x9 = 2016 soit 11 termes.
2017 est de la forme 177+ 230x8 = 8,888x5 + 8,88x7 + 8,8x8 + 888 x2 + 8x8 = 888,888 x2 + 8,888x3 + 8,88x7 + 8,8x8 + 10x8=
888,888 x2 + 8,888x3 + 8,88x7 + 8,8x7 + 88,8 =
888,888 x2 + 8,888x3 + 88,88 + 8,88x6 +8,8x8 soit 20 termes