A366 ‒ Les nombres octogonaux.
Problème proposé par Michel Lafond
On dit qu'un nombre réel positif est OCTOGONAL s'il est la somme de nombres réels positifs dont les écritures décimales ne comportent que le chiffre 8.
Exemple 129,6 = 88 + 8,8 + 8,8 + 8 + 8 + 8 est octogonal.
Q1 Démontrer que 100 est octogonal.
Q2 Démontrer que tout entier supérieur ou égal à 170 est octogonal.
Q3 Écrire 2017 comme somme d'un nombre minimal de nombres réels positifs dont les écritures décimales ne comportent que le chiffre 8.
Solution proposée par Daniel Collignon
Q₁
100 = 5*8,8 + 7*8
Q₂
Notons a=8,8, b=8,88 et c=8,888, de sorte que 5a=44, 25b=222 et 125c=1111.
Nous vérifions que a+2b+5c=71 et 2a+5b=62.
Écrivons que : 170 = 100 + 62 + 8 171 = 100 + 71 172 = 16*8 + 44 173 = 71 + 62 + 5*8 174 = 2*71 + 4*8 175 = 71 + 2*44 + 2*8 176 = 2*88
177 = 71 + 62 + 44
Par récurrence en ajoutant 8, on montre que tout entier >= 170 est octogonal
Q₃
A noter que d=8,8... est tel que 9d=80.
Avec 11 termes : 2016 = 2*888 + 2*88,8... + 7*8,8...
Avec 20 termes : 2017 = 2*888 + 1*88 + 17*8 + 8*0,8 + 7*0,88 + 5*0,888