A366. Les nombres octogonaux
On dit qu'un nombre réel positif est octogonal s'il est la somme de nombres réels positifs dont les écritures décimales ne comportent que le chiffre 8.
Exemple 129,6 = 88 + 8,8 + 8,8 + 8 + 8 + 8 est octogonal.
Q1 Démontrer que 100 est octogonal.
Q2 Démontrer que tout entier supérieur ou égal à 170 est octogonal.
Q3 Écrire1 respectivement 2016 et 2017 comme somme d'un nombre minimal de nombres réels positifs dont les écritures décimales ne comportent que le chiffre 8.
1Nota : l'écriture d'une infinité de chiffres 8,par exemple sous la forme 8,88... , est autorisée.
Q1) 100 = 8+8+8+8+8+8+8 + 8,8+8,8+8,8+8,8+8,8 [7fois 8 + 5fois 8,8]
Q2) Il suffit de montrer que les entiers de 170 à 177 sont octogonaux :
Q3) 2016 = 2(888)+2(88)+8(8) somme de 12 nombres, mais aussi :
2016 = 176 + 1840 = 2(88) + 2(888,8888...) +7(8,8888...) somme de 11 nombres.
Pour 2017 : J'utilise d'abord un court programme pour trouver les nombres entiers qu'on peut obtenir par combinaison linéaire de 0,8, 0,88, 0,888, 0,8888 :
En particulier 17 = 8(0,8) + 7(0,88) + 5(0,888)
Il faudra disposer de 20 nombres entiers pour leur attribuer ces décimales.
On trouve facilement une expression de 2000 comme combinaison linéaire de 888, 88, et 8 : 2000 = 2(888) + 1(88) + 17(8) c'est effectivement une somme de 20 nombres entiers ! 2017 = 2(888,8) + 1(88,8) + 5(8,888) + 7(8,88) + 5(8,8) somme de 20 nombres.
88 8 8,8 8,88 8,888
170 8 7 5
171 7 6 2 5
172 16 5
173 5 3 7 5
174 14 2 5
175 13 1 2 5
176 2
177 8 7 5
