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169 n’a pas de solution. Il n’est pas octogonal.

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Academic year: 2022

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A366. Les nombres octogonaux Problème proposé par Michel Lafond

On dit qu'un nombre réel positif est octogonal s'il est la somme de nombres réels positifs dont les écritures décimales ne comportent que le chiffre 8.

Exemple 129,6 = 88 + 8,8 + 8,8 + 8 + 8 + 8 est octogonal.

Q1 Démontrer que 100 est octogonal.

Q2 Démontrer que tout entier supérieur ou égal à 170 est octogonal.

Q3 Écrire1 respectivement 2016 et 2017 comme somme d'un nombre minimal de nombres réels positifs dont les écritures décimales ne comportent que le chiffre 8.

Proposition de solution

Q1

100 = 56 +44 = 8 * 7 + 8.8 * 5 donc

100 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8.8 + 8.8 + 8.8 + 8.8 + 8.8

Q2

170 = 8.88 * 5 + 8.8 *7 + 8 * 8 avec 20 termes.

170 = 8.88 + 8.88 + 8.88 + 8.88 + 8.88 + 8.8 + 8.8 + 8.8 + 8.8 + 8.8 + 8.8 + 8.8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8

Je note les additions successives avec une multiplication pour plus de clarté.

Le nombre de termes, précise le nombre de termes que l’on obtient en notant le résultat avec les additions demandées.

168 est octogonal : 168 = 1 * 88.8 + 9 * 8.8 avec 10 termes.

169 n’a pas de solution. Il n’est pas octogonal.

Il suffit alors de trouver les solutions de 170 à 177 pour être certain que tout entier supérieur à 170 est octogonal.

On commence à 170, il y a des solutions jusqu’à 177.

Tous les nombres supérieurs à 170 sont donc octogonaux.

171 = 5 * 8.888 + 2 * 8.88 + 6 * 8.8 + 7 * 8 avec 20 termes.

172 = 1 * 88 + 5 * 8.8 + 5 * 8 avec 11 termes OU bien

172 = 1 * 88.8 + 4 * 8.8 + 6 * 8 avec 11 termes.

173 = 5 * 8.888 + 7 * 8.88 + 3 * 8.8 + 5 * 8 avec 20 termes.

174 = 1 * 88 + 5 * 8.88 + 2 * 8.8 + 3 * 8 avec 11 termes.

175 = 1 * 88 + 5 * 8.888 + 2 * 8.88 + 1 * 8.8 + 2 * 8 avec 11 termes.

176 = 2 * 88 avec 2 termes.

177 = 5 * 8.888 + 7 * 8.88 + 8 * 8.8 avec 20 termes.

On continue ainsi : de 8 en 8, il suffit d’ajouter un 8.

De cette façon, nous n’aurons pas forcément la solution la plus économique, mais ce sera au moins une solution ;).

Q3

Avec la notation 8.8… signifiant 8 suivi d’u nombre infini de décimales égales à 8, on note

que 888.8…= 8000/9 que 88.8…= 800/9 que 8.8… = 80/9

(2)

Comme 2016 = (2 * 8000 + 2 * 800 + 5 * 80) / 9 + 2 * 8 Et ainsi

2016 = 888.8… + 888.8… + 88.8…+ 88.8… + 8.8… +8.8… + 8.8… +8.8… +8.8… + 8 + 8

avec 11 termes.

(Sans les décimales infinies on se contente de 12 termes.

2016 = 888 + 888 + 88 + 88 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 )

2017 = 2 * 888.8 + 1 * 88.8 + 5 * 8.888 + 7 * 8.88 + 5 * 8.8

avec 20 termes ou bien 2017 = 1 * 888.8 + 7 * 88.88 + 5 * 88.8 + 5 * 8.888 + 2 * 8.8 avec 20 termes ou…

2017 = 2 * 888.88 + 1 * 88.8 + 5 * 8.888 + 5 * 8.88 + 7 * 8.8 avec 20 termes.

Voici quelques autres solutions :

178 = 5 * 8.88 + 7 * 8.8 + 9 * 8 avec 21 termes.

179 = 5 * 8.888 + 2 * 8.88 + 6 * 8.8 + 8 * 8 avec 21 termes.

180 = 1 * 88.8 + 4 * 8.8 + 7 * 8 avec 12 termes.

181 = 5 * 8.888 + 7 * 8.88 + 3 * 8.8 + 6 * 8 avec 21 termes.

182 = 1 * 88.8 + 5 * 8.88 + 1 * 8.8 + 5 * 8 avec 12 termes.

183 = 1 * 88 + 5 * 8.888 + 2 * 8.88 + 1 * 8.8 + 3 * 8 avec 12 termes.

184 = 2 * 88 + 1 * 8 avec 3 termes.

185 = 5 * 8.888 + 7 * 8.88 + 8 * 8.8 + 1 * 8 avec 21 termes.

186 = 1 * 88.88 + 4 * 8.88 + 7 * 8.8 avec 12 termes.

187 = 5 * 8.888 + 2 * 8.88 + 6 * 8.8 + 9 * 8 avec 22 termes.

188 = 1 * 88.8 + 4 * 8.8 + 8 * 8 avec 13 termes.

189 = 5 * 8.888 + 7 * 8.88 + 3 * 8.8 + 7 * 8 avec 22 termes.

190 = 1 * 88.8 + 5 * 8.88 + 1 * 8.8 + 6 * 8 avec 13 termes.

191 = 1 * 88 + 5 * 8.888 + 2 * 8.88 + 1 * 8.8 + 4 * 8 avec 13 termes.

192 = 2 * 88 + 2 * 8 avec 4 termes.

193 = 5 * 8.888 + 7 * 8.88 + 8 * 8.8 + 2 * 8 avec 22 termes.

194 = 1 * 88.88 + 4 * 8.88 + 7 * 8.8 + 1 * 8 avec 13 termes.

195 = 1 * 88.88 + 5 * 8.888 + 1 * 8.88 + 6 * 8.8 avec 13 termes.

196 = 1 * 88.8 + 4 * 8.8 + 9 * 8 avec 14 termes.

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