A366. Les nombres octogonaux A3. Nombres remarquables Problème proposé par Michel Lafond
On dit qu'un nombre réel positif est octogonal s'il est la somme de nombres réels positifs dont les écritures décimales ne comportent que le chiffre 8.
Exemple 129,6 = 88 + 8,8 + 8,8 + 8 + 8 + 8 est octogonal.
Q1 Démontrer que 100 est octogonal.
Q2 Démontrer que tout entier supérieur ou égal à 170 est octogonal.
Q3 Écrire(1) respectivement 2016 et 2017 comme somme d'un nombre minimal de nombres réels positifs dont les écritures décimales ne comportent que le chiffre 8.
1 Nota : l'écriture d'une infinité de chiffres 8, par exemple sous la forme 8,88... , est autorisée.
Solution de Paul Voyer Q1
100 = 8 (7 fois) + 8.8 (5 fois) = 56 + 44.
Q2
On sait construire :
8 = 8 = 0 modulo 8
5 fois 8.8 = 44 = 4 modulo 8
5 fois 8.88 + 2 fois 8.8 = 62 = 6 modulo 8 5 fois 8.888 + 2 fois 8.88 + 8.8 = 71 = 7 modulo 8
9 fois 8.8888… = 80 = 0 modulo 8
9 fois 88.8888… = 800
170 = 8*8+44+62 171 = 7*8+44+71 172 = 16*8+44 173 = 5*8+62+71 174 = 14*8+62 175 = 13*8+71 176 = 22*8 177 = 44+62+71
Au-delà, il suffit d'ajouter des 8 en tant que de besoin.
Q3
2016 = 0 modulo 8 = 2 fois 888 + 2 fois 88 + 8 fois 8 12 nombres 2017 = 1 modulo 8 = 44+62+71+1840
2017 = 2 fois 888 + 8 fois 8 + 8 fois 8.8 + 7 fois 8.88 + 5 fois 8.888 30 nombres
