Série 30 M : Zribi

L.S.Marsa Elriadh

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Exercice 1 :

Une salle de jeu comporte deux consoles identiques proposant le même jeu.

Un jour l’une des deux est déréglée.

Les joueurs ne peuvent savoir laquelle des deux est déréglée.

1. Ce jour-là, un joueur choisit au hasard l’une des deux consoles et il joue une partie sur cette console.

On note :

D l’évènement « le joueur choisit la console déréglée » et D l’évènement contraire ; G l’évènement « le joueur gagne la partie » et G l’évènement contraire.

Cette situation aléatoire est modélisée par l’arbre incomplet suivant, dans lequel figurent certaines probabilités.

Ainsi, 0,7 est la probabilité que le joueur gagne sachant qu’il a choisi une console déréglée.

a. Reproduire cet arbre sur la copie et le compléter.

b. Calculer la probabilité de l’évènement « le joueur choisit la console déréglée et il gagne ».

c. Calculer la probabilité de l’évènement « le joueur choisit la console non déréglée et il gagne ».

d. Montrer que la probabilité que le joueur gagne est égale à 0,45.

e. Calculer la probabilité que le joueur ait choisit la console déréglée sachant qu’il a gagné.

2. Trois fois successivement et de façon indépendante, un joueur choisit au hasard l’une des deux consoles et joue une partie.

Calculer la probabilité de l’évènement « le joueur gagne exactement deux fois ». Le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au millième.

Exercice 2 :

Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussettes auprès de trois fournisseurs F1, F2, F3.

Dans l’entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique.

La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur F1, le tiers par le fournisseur F₂ et le reste par le fournisseur F₃.

Une étude statistique a montré que

• 5% des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur F1 ont un défaut ;

• 1,5 % des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur F2 ont un défaut ;

• sur l’ensemble du stock, 3,5 % des paires de chaussette ont un défaut.

G

G D

D 0,5

0,7

0,2

G

G

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1. On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l’entreprise. On considère les évènements F1, F2, F3 et D suivants :

• F1 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F1 » ;

• F2 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F₂ » ;

• F3 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F3 » ;

• D : « La paire de chaussettes prélevée présente un défaut ».

a. Traduire en termes de probabilités les données de l’énoncé en utilisant les évènements précédents.

Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cet expérience.

b. Calculer la probabilité qu’une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur F1 et présente un défaut.

c. Calculer la probabilité de l’évènement F₂D. d. En déduire la probabilité de l’évènement F₃D.

e. Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F₃, quelle est la probabilité qu’elle présente un défaut ?

2. L’entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires. On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages indépendants, successifs avec remise.

a. Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d’un lot présentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième.

b. Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu’au plus une paire de chaussettes d’un lot présente un défaut est égale à 0,983.

Exercice 3 :

Le secteur de production d'une entreprise est composé de 3 catégories de personnel :

* les ingénieurs ;

* les opérateurs de production ;

* les agents de maintenance.

Il y a 8 % d'ingénieurs et 82 % d'opérateurs de production.

Les femmes représentent 50 % des ingénieurs, 25 % des agents de maintenance et 60

% des opérateurs de production.

Partie A

Dans cette partie, on interroge au hasard un membre du personnel de cette entreprise. On note :

* M l'événement : « le personnel interrogé est un agent de maintenance » ;

* O l'événement : « le personnel interrogé est un opérateur de production » ;

* I l'événement : « le personnel interrogé est un ingénieur » ;

* F l'événement : « le personnel interrogé est une femme » ; 1. Construire un arbre pondéré correspondant aux données.

2. Calculer la probabilité d'interroger : a. un agent de maintenance ;

b. une femme agent de maintenance ;

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c. une femme.

Partie B

Le service de maintenance effectue l'entretien des machines, mais il est appelé aussi à intervenir en cas de panne. Pour cela une alarme est prévue. Des études ont montré que sur une journée :

* la probabilité qu'il n'y ait pas de panne et que l'alarme se déclenche est égale à 0,002 ;

* la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme ne se déclenche pas est égale à 0,003 ;

* la probabilité qu'une panne se produise est égale à 0,04 . On note :

* A l'événement : « l'alarme se déclenche » ;

* B l'événement : « une panne se produit ».

1. Démontrer que la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme se déclenche est égale à 0,037.

2. Calculer la probabilité que l'alarme se déclenche.

3. Calculer la probabilité qu'il y ait une panne sachant que l'alarme se déclenche.