L.S.Marsa Elriadh
Série 14 M : Zribi
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Exercices2010-2011
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-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
Exercice 1:
ζf est la représentation graphique d’une fonction f dans un repère orthonormé ( , , )O i j . 1/ a)Déterminer le domaine de définition Df de f
b) Déterminer les limites de f aux bornes de son domaines Df . 2/ f est elle dérivable à gauche en 2? Justifier ta réponse.
3/ dresser le tableau de variation de f . 4/
a) Montrer que f est une bijection de Df sur un intervalle J que l’on déterminera . b) f -1 est elle dérivable à droite en 0? Justifier ta réponse.
c) Compléter la figure par la courbe ζ ' de f -1.
ζf
Exercice 2:
Soit f la fonction définie par : f x: x2+2x+x. 1) Déterminer le domaine de définition Df de f . 2) Montrer que f est dérivable sur
]
−∞ −, 2[ ]
∪ 0,+∞[
.3) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter graphiquement le résultat trouvé .
4) Dresser le tableau de variation de f sur
[
0,+∞[
5) a) Montrer que f réalise une bijection de IR+ sur l’intervalle J que l’on précisera.
b) Exprimer f -1(x) pour tout x de J . Exercice 3:
I- g est la fonction définie sur IR par :
( ) 1 2
1 g x x
x
= − + + 1/ Déterminer les limites de g en +∞ et en -∞.
2/ Montrer que g est dérivable sur IR.
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3/ Dresser le tableau de variation de g .
4/ Montrer que g est une bijection de IR sur un intervalle J que l’on précisera II- Soit f la fonction définie sur IR par : f x( )= − + +x 2 x2+1
1/ Déterminer les limites de f en +∞ et en -∞. 2/ Dresser le tableau de variation de f .
3/ Montrer que f est une bijection de IR sur un intervalle I que l’on précisera 4/ Montrer que l’équation f(x) = 4 admet une unique solution dans ]-2, 0[
5/ Déterminer f -1(3) et (f -1)’(3)
6/ Expliciter l’expression de f -1(x) pour x de I . Exercice 4:
soit la fonction f définie sur IR par : f(x)= 1
² 2 2 x
x x
+
+ + . 1/ montrer que f est dérivable sur IR et calculer f’(x).
2/ étudier les variations de f.
3/ a/ montrer que f possède une fonction réciproque f –1 définie sur un intervalle I à préciser.
b/ montrer que f –1(x)= -1+
1 ² x
−x ; x∈I.
4/ soit g la fonction définie sur IR par : g(x)=f(x)-x .
étudier les variation de g et montrer qu’il existe un unique réel α∈]0,1[ tel que g(α)=0.
5/ soit U la suite définie sur IN par : U0=0 et Un+1 = f(Un) , n∈IN.
a/ montrer que pour tout n∈IN : 0 ≤ Un≤α.
b/ étudier les variations de U ; en déduire que U est convergente et calculer sa limite.
6/ la courbe ci-dessus est celle de f tracer dans le même repère la courbe de f-1
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Exercice 5 :
soit f : ]-π,π[ → R
x → tg (x 2)
1/ étudier et représenter graphiquement f.
2/ démontrer que f est une bijection de ]-π,π[ sur R. calculer f-1(1) et (f-1)’(1).
3/ démontrer que f-1 est dérivable sur R et expliciter (f-1)’(x) pour tous x ∈R.
Retrouver (f-1)’(1).
4/ soit g : ]-π,π[ → R x → π cosx
Démontrer que fog est dérivable sur ]-π,π[ et calculer (fog)’(x).
Exercice 6 :
soit f : [0, π/2] → R x → cos x
1/ montrer que f est une bijection de [0, 2
π ] sur un intervalle I que l’on précisera et construire sa courbe Γ dans un repère orthonormé ( , , )O i j
2/ étudier la continuité et la dérivabilité de f-1 et construire sa courbe Γ’ danse le même repère que Γ.
3/ lorsque cela est possible , calculer (f-1)’(x) .
Exercice 7:
soit f la fonction définie sur ]0,2[ par f(x)= -ctg( x 2 π )
1/ montrer que f est une bijection de ]0,2[ sur un intervalle I que l’on précisera.
2/ soit h la réciproque de f. montrer que h est dérivable sur I et calculer h’(x).
3/ soit ϕ la fonction définie sur R* par ϕ(x)= h(x)+h(1
x) montrer que ϕ est constante sur chacun des intervalles ]-∞, 0[ et ]0, +∞[ et préciser chacune de ces constantes.
Exercice 8 :
Soit f(x)= ( 1)
tg⎡⎢⎣π2 x − ⎤⎥⎦, où x est un réel de l’intervalle
] [
0, 2 =I1) Montrer que f réalise une bijection de I sur IR.
2) Calculer f –1(1) et f –1(-1).
3) Donner le domaine de dérivabilité de f –1
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et montrer que (f –1)’(x)= 22 (x 1) π + . 4)soit h(x)=f –1(x)+f –1( 1
x ) ;
a- Montrer que h est dérivable sur IR*, puis calculer h’(x).
b- En déduire h(x).
Exercice 9:
On considère la fonction définie sur 0, 2
⎤ π⎤
⎥ ⎥
⎦ ⎦ par f(x)= sin 2 sin
x x . 1) Montrer que f est dérivable sur 0,
2
⎤ π⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣ et calculer f’(x) pour tout x 0, 2
⎤ π⎡
∈ ⎥⎦ ⎣⎢. 2) Etudier la dérivabilité de f à gauche en
2 π .
3) Montrer que f réalise une bijection de 0, 2
⎤ π⎤
⎥ ⎥
⎦ ⎦ sur
[
0,+∞[
.4) Montrer que f –1 est dérivable sur
[
0,+∞[
et que ∀ ∈x
[
0,+∞[
, (f –1)’(x)= 44 4
x x
− + .
2) Pour tout x 0, on pose g(x)=f –1( 2x )+f –1( 2 x ).
a- Calculer f –1( 2).
b- Montrer que g est dérivable sur
]
0,+∞[
et calculer g’(x).c- Montrer que ∀ x 0, g(x)=
2 π .
