Dans cet exercice, on cherche à calculer la probabilitépG que le premier joueur gagne le tie-break

Problème : Le tie-break du tennis Deux joueurs de tennis s'arontent au tie-break.

À chaque point, le premier joueur a la probabilité p∈[0,1] de l'emporter et l'autre joueur la proba- bilité q= 1−p.

Le premier joueur ayant emporté au moins sept points dont deux de plus que son adversaire gagne le tie-break.

Dans cet exercice, on cherche à calculer la probabilitépG que le premier joueur gagne le tie-break.

Pour que le premier joueur gagne le tie break, il y a deux possibilités :

Le premier joueur gagne le tie-break sans passer par le score sixsix, on note p₁ la probabilité de cet évènement,

Le premier joueur gagne le tie-break en passant par le score sixsix, on note p₂ la probabilité de cet évènement.

1. Montrer quepG=p1+p2. 2. Calculerp1.

3. Calculerp₆, la probabilité que le score passe par le score sixsix.

On admet que si(A_k)_k>6 est une suite d'évènements deux à deux incompatibles alors

P



 [

k>6

A_k



= lim

n→+∞

n

X

k=6

P(A_k).

4. Montrer que

n→+∞lim

n

X

k=6

(2pq)^k= (2pq)⁶ 1−2pq. 5. Calculerp₂.

6. Montrer que

pG=p⁷

5

X

k=0

6 +k k

q^k+

12 6

p⁸q⁶ 1−2pq. 7. Ecrire une fonction Python intitulée binom(n,k) qui retourne ⁿ_k

. 8. Ecrire une fonction Python intitulée tie_break(p) qui retourne p_G.

9. A titre informel, en poursuivant très légèrement les calculs, voici un graphe que l'on peut obtenir :

1

Commenter.

* * * FIN DU SUJET * * *

2