Université de Cergy-Pontoise Janvier 2014
L1-SV Mathématiques pour les Sciences
Durée 2 heures, documents et calculatrices interdits
Premier Exercice - 4 points
Soit la fonction f définie parf(x) = x+1x−1.
1. Quel est le domaine de définition def?
2. Calculerf0 la dérivée de f et étudier le signe de f0.
3. Donner les limites def aux bornes du domaine de définition.
4. Préciser s’il y a des asymptotes.
5. Donner le tableau de variation complet def. 6. Tracer la courbe représentative def.
Second Exercice - 3 points
Soit la fonction définie par f(x) = arctan(2x+ 1) 1. Quel est le domaine de définition def.
2. Calculer la dérivée def.
3. Monter quef est une bijection et déterminer f−1.
Troisième Exercice - 6 points
1. CalculerR1 0 te−tdt 2. R2
1 1 tlnt dt
3. Soit la fonction définie par f(x) = (x2x+1)(x−1)2+x−1
(a) Montrer quef(x) = 12 h x
x2+1+ x23+1 +x−11 i
. (b) CalculerR4
2 f(x)dx.
Quatrième Exercice - 4 points
1. Résoudre sur ]−1,+∞[,(1 +x)y0+y = 0
2. On considère l’équation différentielle :(E) (1 +x)y0+y= 1 + ln(1 +x) (a) Rechercher une solution particulière sous la formey0(x) =a+bln(1 +x) (b) Résoudre l’équation(E) sur]−1,+∞[.
Cinquième Exercice - 3 points
Résoudre les équations différentielles suivantes : 1. y00−y= 0
2. y00+y0+y= 0
1
