Universit´ e de Cergy-Pontoise Janvier 2010 SVT-S1-L1 Maths pour les Sciences
Examen - Dur´ee 2 heures, documents et calculatrice interdits
Premier Exercice - 6 points
On s’int´eresse `a la fonction :f(x) = ex−1 ex−x
1. En ´etudiant les variations de g(x) =ex−x, montrer que pour toutxr´eel,g(x)≥1 et en d´eduire quef est d´efinie surR.
2. D´eterminer
x→−∞lim f(x) et lim
x→+∞f(x)
En d´eduire que la courbe repr´esentative def a deux asymptotes que l’on pr´ecisera.
3. Calculer en fonction de l’entiernl’int´egrale : In=
Z n
0
f(x)dx 4. Montrer que lim
n→+∞(In−n) = 0
Deuxi` eme Exercice - 7 points
1. R´esoudre, sur l’intervalleI=]0,+∞[, l’´equation y0−
1−1
x
y= 1
On commencera par r´esoudre l’´equation sans second membre puis on appliquera la m´ethode de variation de la constante.
2. On veut r´esoudre l’´equation diff´erentielle : 4y00−4y0+ 5y= 5x2+ 7x+ 1.
(a) R´esoudre l’´equation sans second membre.
(b) Chercher une solution particuli`ere de l’´equation compl`ete qui soit un polynˆome du second degr´e.
(c) En d´eduire toutes les solutions de l’´equation compl`ete.
Troisi` eme Exercice - 7 points
1. R´esoudre dansCl’´equation (E) :Z2−(1 +√
2)Z+√ 2 = 0.
On v´erifiera que les solutions sontZ1= 1 etZ2=√ 2.
2. On veut r´esoudre dansCl’´equation (F) z4−(1 +√
2)z3+ (2 +√
2)z2−(1 +√
2)z+ 1 = 0
On poseZ=z+1z. CalculerZ2et, en mettantz2 en facteur dans l’´equation (F), montrer que siz est solution de (F), alorsZ v´erifie l’´equation (E).
3. R´esoudre l’´equation (F). On trouvera quatre solutions complexes.
4. Montrer que le premier membre de l’´equation (F) peut se factoriser en : (z2−z+ 1)(z2−√
2z+ 1) et en d´eduire `a nouveau les solutions de (F).
