Université de Cergy-Pontoise Janvier 2013
L1-SV Mathématiques pour les Sciences
Durée 2 heures, documents interdits
Premier Exercice - 5 points
On veut étudier la fonction définie par f(x) = e(1/x)√ x+ 4 1. Quel est le domaine de définition def?
2. Montrer quef0(x) = 2xe2(1/x)√x+4(x2−2x−8)et étudier le signe def0. 3. Donner les limites def au bornes du domaine de définition.
4. Donner le tableau de variation def. 5. Tracer la courbe représentative def.
Second Exercice - 5 points
On considère les deux nombres complexes z1= 12 +
√3
2 ietz2=
√2 2 −
√2 2 i.
On définit z3∈Cparz3 =z1z2.
1. Donner la partie réelle de z3 ainsi que sa partie imaginaire.
2. Donner le module et un argument dez1 etz2. Puis écrire ces complexes sous forme trigonométrique.
3. Donner, à l’aide de la question précédente, la forme trigonométrique dez3. 4. En déduire quecosπ
12
=
√6 +√ 2 4
Troisième Exercice - 4 points
Calculer les intégrales suivantes : 1. R1
0 arctanx dx 2. R4
1 1−√
t t dt
(Indication : on pourra utiliser le changement de variableu=√
t ou écrire 1−
√t
t = 1t −√1
t).
Quatrième Exercice - 5 points
1. Soitf la fonction définie par : f(x) = 1
x(x2+ 1) sur I =]0,+∞[
Calculer les constantesa,b etctelles que, pour toutx de I,f(x) = a
x +bx+c x2+ 1 2. En déduire les primitives def surI.
3. On considère maintenant l’équation différentielle :xy0−y= x
1 +x2 (E) (a) Résoudre l’équation sans second membre surI.
(b) Trouver une solution particulière de l’équation complète surI, par la méthode de variation de la constante.
(c) Trouver toutes les solutions de l’équation(E).
Cinquième Exercice - 3 points
Résoudre les équations différentielles suivantes : 1. y00−4y0+ 13y= 0
2. y00−3y0+ 2y= 0
1
