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TS – DM n°6
Exercice
On considère la suite de nombres imaginaires définie par :
$z_1=¤i$
$z_{n+1}=z_n
/f{/t{/f{/rc{3};2}+/f{i;2} ;/f{/rc{2};2}+i/f{/rc{2};2} ;/f{1;2}+i/f{/rc{3};2}};/r c{n+µ}}$
1. Calculer a=$(#3)^2$,b=$(#3)^3$,c=$(#3)^4$,d=$(#3)^5$ et e=$(#3)^6$.
2. Calculer $z_2$,$z_3$,$z_4$,$z_5$ et $z_6$ en fonction d'une puissance de
#3 et de $z_1$.
3. Calculer $z_2$ et $z_3$ sous forme algébrique.
4. Dans un repère orthonormé, placer les points $A_1$,$A_2$,$A_3$,$A_4$,
$A_5$ et $A_6$, d'affixes respectives $z_1$,$z_2$,$z_3$,$z_4$,$z_5$ et $z_6$.
5. On appelle $A_n$ le point d'affixe $z_n$.
a. Montrer que $/va{z_{n+1}}</va{z_{n}}$.
b. En déduire que la suite définie par $u_n=/va{z_n}$ est convergente et calculer sa limite.
c. En déduire le comportement de $OA_n$ en fonction de $n$.
6. La suite $(u_n)$ est-elle géométrique ? Justifier.
7.
a. Montrer que /si{#3=§[{§[sqrt{3}]§}over{2}]§+§[{i}over{2}]§ ;
$/f{z_{n+12};z_n}
$;/si{#3=§[{§[sqrt{2}]§}over{2}]§+i§[{§[sqrt{2}]§}over{2}]§ ;
$/f{z_{n+8};z_n}$;$/f{z_{n+6};z_n}$}} est un nombre réel.
b. En déduire que $O$,$A_n$, et
/si{#3=§[{§[sqrt{3}]§}over{2}]§+§[{i}over{2}]§ ;
$A_{n+12}$;/si{#3=§[{§[sqrt{2}]§}over{2}]§+i§[{§[sqrt{2}]§}over{2}]§ ;
$A_{n+8}$;$A_{n+6}$}} sont alignés.
8. Que peut-on déduire des questions précédentes concernant le motif dessiné par la suite des points $A_n$ ?
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