Nom : Jeudi 8 avril – 1h00
Devoir surveillé n°7
Nombre dérivé
EXERCICE7.1(4 points).
Pourtousles élèves.
On donne sur la figure7.1de la présente page la courbe représentativeC de la fonction f en y indiquant les droites tangentes aux pointsA,BetC.
1. Donner par lecture graphiquef(−1),f(1) etf(4).
2. Donner par lecture graphiquef′(−1),f′(1) etf′(4).
3. Déterminer l’équation de la tangente àC au point d’abscisse 4.
FIG. 7.1 – Figure de l’exercice7.1
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5
−1
−2
−3 O
x y
b b b
A
B
C
C
EXERCICE7.2(6 points).
Pour les élèvesne suivant pasl’enseignement de spécialité.
Tracer une courbeC dans le repère fourni sur la figure7.2de la présente page représentant une fonctionf définie sur l’intervalle [−6; 6] ayant les propriétés suivantes (on traceratoutesles tangentes qu’on peut déduire de l’énoncé) :
• f est paire ;
• f(0)=1 etf′(0)=0 ;
• f(2)=3 etf′(2)=2 ;
• f(5)=3 etf′(5)= −12. FIG. 7.2 – Figure de l’exercice7.2
1 2 3 4 5
−1
−2
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6 O
x y
David ROBERT 85
Nom : Jeudi 8 avril – 1h00
EXERCICE7.2(6 points).
Pour les élèvessuivantl’enseignement de spécialité.
Le 1erjanvier 2005, une grande entreprise compte 1500 employés.
Une étude montre que lors de chaque année à venir, 20 % de l’effectif du 1er janvier partira à la retraite au cours de l’année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l’entreprise embauche 200 jeunes dans l’année. Pour tout entiernon appelleunle nombre d’employés le 1erjanvier de l’année (2005+n) .
1. Détermineru0,u1etu2.
2. Montrer queun+1=0,8un+200.
3. On a tracé dans le repère de la figure7.3de la présente page les droitesDetB d’équations respectives y = 0,8x+200 ety=x.
(a) Sans justifier, construire la « représentation en chemin » de la suite (un).
(b) Que peut-on conjecturer de la monotonie de la suite (un) ? (c) Que peut-on conjecturer pourunquandndevient grand ? 4. On posevn=un−1000.
(a) Déterminerv0,v1etv2.
(b) Montrer quevn+1=0,8vn. Que peut-on en déduire pour la suite (vn) ? (c) En déduire la montonie de (vn) puis celle de (un).
FIG. 7.3 – Figure de l’exercice7.2
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600
−100
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600
−100 O
C B
86 http ://perpendiculaires.free.fr/
Nom : Jeudi 8 avril – 1h00
EXERCICE7.3(10 points).
Pourtousles élèves.
Soitf la fonction définie surRparf(x)=x2−2x−3. On appelleC sa courbe représentative.
1. (a) Déterminer les coordonnées deA, point d’intersection deC avec l’axe des ordonnées.
(b) Déterminer le coefficient directeur de la tangente àC enA.
2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection deC avec l’axe des abscisses.
3. Déterminerf(1),f′(1) et l’équation de la tangente àC au point d’abscisse 1.
4. (a) Placer tous les points qu’on peut déduire des questions précédentes dans le repère de la figure7.4de la présente page.
(b) Tracer toutes les tangentes qu’on peut déduire des questions précédentes dans le même repère.
(c) TracerC dans le même repère.
FIG. 7.4 – Figure de l’exercice7.3
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5
−1
−2
−3 O
x y
David ROBERT 87
