MPSI B Année 2017-2018 Énoncé DM 1 pour le 15/09 3 septembre 2019
Exercice 1
Soit m ∈ C de partie réelle x et de partie imaginaire y . 1. Former une relation entre x et y caractérisant
|m| = 2|m − i|.
Que peut-on en déduire pour l'ensemble des points M d'axe m vériant cette rela- tion ?
2. Former une relation entre x et y caractérisant
m
2m + i ∈ i R .
Que peut-on en déduire pour l'ensemble des points M d'axe m vériant cette rela- tion ?
Exercice 2
Cet exercice porte sur la construction d'un pentagone régulier
1.
Soit ω un nombre complexe tel que ω 6= 1 et ω
5= 1 . On considère les deux nombres complexes α et β dénis par :
α = ω + 1
ω β = −1 − α
1. a. Montrer que
ω = 1 ω = ω
4Former une relation analogue pour ω
2au lieu de ω . Que peut-on en déduire pour ω + ω
4et ω
2+ ω
3?
b. Montrer que
1 + ω + ω
2+ ω
3+ ω
4= 0
2. a. Montrer que α et β sont réels en exprimant α à l'aide d'une partie réelle.
b. Simplier α + β et αβ . En déduire une équation simple du second degré dont les solutions sont α et β .
1D'après E.N.S.A.I.S 2005
3. Préciser le centre et les intersections avec les axes du cercle d'équation x
2+ y
2+ x − 1 = 0
4. (En utilisant les résultats de terminale.) On suppose ω = e
2iπ5= cos 2iπ
5 + i sin 2iπ 5
Montrer que les 3 points situés sur le cercle de centre 0 et de rayon 2 et dont les abscisses sont respectivement α , β et 2 sont des sommets d'un pentagone régulier. En déduire une construction à la règle et au compas d'un pentagone régulier.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/