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Que peut-on en déduire pour l'ensemble des points M d'axe m vériant cette rela- tion ?

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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MPSI B Année 2017-2018 Énoncé DM 1 pour le 15/09 3 septembre 2019

Exercice 1

Soit m ∈ C de partie réelle x et de partie imaginaire y . 1. Former une relation entre x et y caractérisant

|m| = 2|m − i|.

Que peut-on en déduire pour l'ensemble des points M d'axe m vériant cette rela- tion ?

2. Former une relation entre x et y caractérisant

m

2

m + i ∈ i R .

Que peut-on en déduire pour l'ensemble des points M d'axe m vériant cette rela- tion ?

Exercice 2

Cet exercice porte sur la construction d'un pentagone régulier

1

.

Soit ω un nombre complexe tel que ω 6= 1 et ω

5

= 1 . On considère les deux nombres complexes α et β dénis par :

α = ω + 1

ω β = −1 − α

1. a. Montrer que

ω = 1 ω = ω

4

Former une relation analogue pour ω

2

au lieu de ω . Que peut-on en déduire pour ω + ω

4

et ω

2

+ ω

3

?

b. Montrer que

1 + ω + ω

2

+ ω

3

+ ω

4

= 0

2. a. Montrer que α et β sont réels en exprimant α à l'aide d'une partie réelle.

b. Simplier α + β et αβ . En déduire une équation simple du second degré dont les solutions sont α et β .

1D'après E.N.S.A.I.S 2005

3. Préciser le centre et les intersections avec les axes du cercle d'équation x

2

+ y

2

+ x − 1 = 0

4. (En utilisant les résultats de terminale.) On suppose ω = e

2iπ5

= cos 2iπ

5 + i sin 2iπ 5

Montrer que les 3 points situés sur le cercle de centre 0 et de rayon 2 et dont les abscisses sont respectivement α , β et 2 sont des sommets d'un pentagone régulier. En déduire une construction à la règle et au compas d'un pentagone régulier.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai M1701E

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