Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Devoir surveillé n°7
Vendredi 5 juin de 14h30 à 15h30
L’évaluation prendra significativement en compte :
• la présentation ;
• la clarté des explications ;
• le soin porté à l’argumentation des réponses ;
• la justesse du vocabulaire et des symboles employés.
Questions de cours (8 points)
1. Énoncer le théorème sur la division euclidienne dansK[X]. /2
2. Énoncer le critère pour quea∈Ksoit racine deP∈K[X], qui met en jeu une propriété de divisibilité. /1
3. Démontrer le résultat énoncé à la question 2. /2
4. Énoncer la formule de Taylor pour les polynômes. /2
5. Énoncer le théorème de d’Alembert-Gauß. /1
Exercice 1 (3 points) Soient les polynômes :
A:=X5+X4+X3+X2+X+1 et B:=X2−X+1.
Le polynômeBdivise-t-il le polynômeA? /3
Exercice 2 (2 points)
Soitαun nombre complexe, non réel.
1. Justifier que le polynôme
P:=(X−α)¡ X−α¢
est à coefficients réels. /1
2. Justifier quePest irréductible surR. /1
Exercice 3 (7 points) Soit le polynôme :
P:=X4−6X3+9X2+9.
1. DécomposerX4−6X3+9X2en produit de polynômes irréductibles dansR[X]. /2 2. En déduire la décomposition dePen produit de polynômes irréductibles dansC[X].
Ici, si des racines carrées de nombres complexes étaient à calculer, on pourrait les donner sans exposer le
détail de la démarche. /4
3. Donner la décomposition dePen produit de polynômes irréductibles dansR[X]. /1
