Devoir surveillé n˚7

1^èreBT S DOM OT IQU E Variables aléatoires continues Lundi 04 mai 2009

Devoir surveillé n˚7

Tous les résultats seront arrondis à10⁻². EXERCICE n^o 1

On noteXla variable aléatoire qui, à chaque homme prélevé au hasard, associe sa taille en centimètres. On suppose queX suit la loi normale de moyenne 178 et d’écart-type 10.

1. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :

(a) A: « Un homme prélevé au hasard a une taille supérieure strictement à 180 ».

(b) B : « Un homme prélevé au hasard a une taille inférieure ou égale à 150 ».

(c) C : « Un homme prélevé au hasard a une taille comprise entre 160 et 185 inclus ».

2. (a) Déterminer le réelatel queP(X ≥a) = 0,80. Interpréter ce résultat.

(b) Déterminer le réelb tel queP(176−b≤X ≤180 +b) = 0,68. Interpréter ce résultat.

(c) Déterminer une estimation de la taille en dessous de laquelle se situe la moitié de la population.

EXERCICE n^o 2

SoitX etY des variables aléatoires.

X suit la loi normale N( 2 ; 0,1 ),Y suit la loi normaleN( 3 ; 0,2 ).

1. Déterminer la loi de la variable aléatoire Z =−2X+ 3.

2. Déterminer la loi de la variable aléatoire U =X−Y.

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Correction du DS n˚7

EXERCICE n^o 1

1. On poseT = X−178

10 , T suit alors la loi normale centrée réduiteN( 0 ; 1 ) et X= 10T + 178.

(a) Calcul deP(A) : P(X >180)

=P(10T + 178>180)

=P(T >0,2)

= 1−P(T ≤0,2)

= 1−Π(0,2)

= 1−0,5793

= 0,4207.

P(A) = 0,42

(b) Calcul de P(B) : P(X ≤150)

=P(10T+ 178≤150)

=P(T ≤ −2,8)

=P(T ≥2,8)

= 1−P(T <2,8)

= 1−P(T ≤2,8)

= 1−Π(2,8)

= 1−0,9974

= 0,0003.

P(B) = 0,003

(c) Calcul deP(C) : P(160≤X ≤185)

=P(160≤10T+ 178≤185)

=P(−1,8≤T ≤0,7)

=P(T ≤0,7)−P(T <−1,8)

= Π(0,7)−P(T >1,8)

= Π(0,7)−[1−P(T ≤1,8)]

= Π(0,7)−1 + Π(1,8)

= 0,7580−1 + 0,9641

= 0,7221.

P(C) = 0,72 2. On a toujoursT = X−178

10 etX= 10T+ 178.

(a) P(X≥a) = 0,80

⇐⇒P(10T+ 178≥a) = 0,80

⇐⇒P

T ≥ a−178 10

= 0,80

⇐⇒1−P

T < a−178 10

= 0,80

⇐⇒P

T < a−178 10

= 0,20 0,20<0,5 donc, a−178

10 <0

⇐⇒P

T > −a+ 178 10

= 0,20

⇐⇒1−P

T ≤ −a+ 178 10

= 0,20

⇐⇒Π

−a+ 178 10

= 0,80

Or, Π(0,84) = 0,80 donc : −a+ 178

10 = 0,84

⇐⇒a= 178−10×0,84 = 169,6

a= 169,60 soit : 80% des hommes ont une taille supérieure ou égale à 169,6 cm.

(b) P(176−b≤X ≤180 +b) = 0,68

⇐⇒P(176−b≤10T+ 178≤180 +b) = 0,68

⇐⇒P

−2−b

10 ≤T ≤ 2 +b 10

= 0,68

⇐⇒2Π

2 +b 10

−1 = 0,68

⇐⇒Π

2 +b 10

= 0,84

or, Π(0,99) = 0,84 donc 2 +b

10 = 0,99

⇐⇒b= 10×0,99−2 = 7,9

b= 7,90 soit : 68% des hommes ont une taille comprise entre 168,1 cm et 187,9 cm.

(c) 178 étant la moyenne de cette loi normale, la moitié de la population à une taille inférieure à 178 cm.

EXERCICE n^o 2

1. Z suit la loi normale de paramètres :

( m =−2E(X) + 3 =−2×2 + 3 =−1 σ =| −2|σ(X) = 2×0,1 = 0,2 Donc : Z N( −1 ; 0,2 ) .

2. U suit la loi normale de paramètres :

( m =E(X)−E(Y) = 2−3 =−1 σ =^pσ(X)²+σ(Y)² =^p0,1²+ 0,2² = 0,22 Donc : U N(−1 ; 0,22 ) .

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