Nom, prénom : Lundi 15 mars 2 010 – 1h00
Devoir surveillé n°7
Logarithme népérien
EXERCICE7.1(4 points).
Les questions sont indépendantes.
1. Écrire les nombres suivants sous la forme lna(oùaest un nombre réel) :
• A=ln 7−ln 2
• B=2ln 3+ln 5
• C= −ln 5
• D=2ln 7−1
2. Soitf la fonction définie sur ]0;+∞[ par :f(x)=lnx+22+x (a) Calculerf(1),f(e) etf(e3). On donnera les valeurs exactes.
(b) Calculerf′(x) sur ]0;+∞[ EXERCICE7.2(4 points).
Résoudre les équations dans l’intervalle demandé : 1. ln(x−1)=ln(2x−3) surI=]1,5;+∞[ 2. ln(x+2)=3 surI=]−2;+∞[ 3. ln(x−2)=0 surI=]2;+∞[ 4. lnx−ln(x+1)=0 surI=]0;+∞[ EXERCICE7.3(4 points).
Tous les résultats devront être justifiés.
Une personne place 5 000(, à intérêts composés, au taux de 7 % par an.
1. De quel capital cette personne disposera-t-elle au bout d’un an ? De cinq ans ? 2. Dans combien d’années le capital disponible sera-t-il supérieur ou égal à 8 000(? 3. Combien faut-il d’années pour que le capital double ?
EXERCICE7.4(8 points).
On considère la fonctionf définie et dérivable sur l’intervalle [1; 7] par : f(x)=2x2−20x+40+16ln(x).
1. Soitf′la fonction dérivée def sur l’intervalle [1; 7].
Calculer f′(x) puis montrer quef′(x)=4(x−4)(x−1)
x .
2. Étudier le signe def′(x) sur l’intervalle [1; 7] et en déduire le tableau de variations de la fonctionf. 3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. On arrondira les résultats à l’unité.
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 22
4. Représenter graphiquement la fonctionf dans le repère orthogonal de la figure7.1page suivante.
5. Un artisan fabrique entre 1 et 7 poupées de collection par jour. Le coût unitaire de fabrication dex poupées, exprimé en euros, est égal àf(x) (xest compris entre 1 et 7).
(a) Combien faut-il produire de poupées pour que le coût unitaire de fabrication soit minimal ? Quel est ce coût minimal ?
(b) Le prix de vente d’une poupée est de 20 euros.
Par lecture graphique, déterminer combien de poupées l’entreprise doit produire pour réaliser un bénéfice.
David ROBERT 63
Nom, prénom : Lundi 15 mars 2 010 – 1h00
FIG. 7.1 – Figure de l’activité7.4
5 10 15 20 25 30 35
−5
1 2 3 4 5 6 7
O
64 http ://perpendiculaires.free.fr/
