BAC STG-CFE-M-PONDICHERY-AVRIL-2009

Baccalauréat STG Mercatique Pondichéry-16 avril 2009 EXERCICE 1 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.

On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n’est demandée.

Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse relire 0,25 point, une question sans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si· le total est négatif. La note attribuée à l’exercice est ramenée à zéro.

Le tableau ci-dessous montre l’évolution entre 2000 et 2007 du nombre d’hôtels 4 étoiles en France métropolitaine.

Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Rang de l’annéexi 0 1 2 3 4 5 6 7

Nombre d’hôtelsyi 613 646 673 704 719 747 777 808

(source INSEE - direction du tourisme) 1. Le taux d’évolution entre 2000 et 2003, arrondi à 0,01 % près, est :

a. 12,93 % b. 14,85 % c. 1,15 % 2. Le taux d’évolution annuel moyen entre 2000 et 2007, arrondi à 0,01 % près, est :

a. 4,02 % b. 1,12 % c. 10,40 %

3. Entre 1999 et 2000, le nombre d’hôtels 4 étoiles a augmenté de 2,51 %. Le nombre d’hôtels 4 étoiles en 1999, arrondi à l’unité, était donc :

a. 244 b. 624 c. 598

4. On considère la série statistique



x yi^; i



donnée par le tableau ci-dessus. La droite d’ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation :

a. y = 26,87x −616,83 b. y = 26,87x +616,83 c. y = −26,87x+616,83 EXERCICE 2 5 points

Florent a besoin d’économiser au moins 1 250 ( pour acheter un scooter. Pour cela, il décide d’effectuer un dépôt chaque mois.

Avec un tableur, il effectue une simulation de deux formules d’économies possibles :

Formule A : le 1er mois, il fait un dépôt de 150 €; il augmente ensuite chaque dépôt mensuel de 20 € . Formule B; le 1er mois, il fait un dépôt de 130 € ; il augmente ensuite chaque dépôt mensuel de 20 %.

On appelle An et Bn les montants respectifs du n-ième dépôt mensuel de Florent avec la formule A et la formule B.

1. Quelles formules destinées à être recopiées vers le bas Florent a-t-il écrites dans les cellules B3 et C3 pour compléter les colonnes B et C?

2. a. Déterminer la nature de la suite (An) et préciser son terme initial et sa raison.

b. Déterminer la nature de la suite (Bn) et préciser son terme initial et sa raison.

3. Exprimer Anet Bn en fonction de n.

4. Florent souhaite acheter son scooter dans 6mois.

a. Quel sera le montant du 6e dépôt, arrondi à l’euro, pour chaque formule ?

b. Quelle somme Florent aura-t-il économisée au bout de six mois, arrondie à l’euro, avec chaque formule ?

c. Quelle formule va-t-il retenir pour acheter son scooter ? Dans cette question, on pourra utiliser le formulaire suivant :

– La somme S des n premiers termes d’une suite arithmétique (un) est donnée par :



1



1 2 3 ...

2

n n

n u u

S u u u u 

     

– La somme S des n premiers termes d’une suite géométrique (un) de raison q (^q1) est donnée par :

_{1 2 3 3 1} 1

...

1 qn

S v v v v v

q

       

 . EXERCICE 3 6 points

On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle ^[1;7] par : f x( ) 2 x²20x40 16ln( ) x 1. Soit ^{f '}la fonction dérivée de f sur l’intervalle ^[1;7].

Calculer ^{f x'( )} puis montrer que _{f x'( )} ⁴



^{x 4}

 

^{x 1}



x

 

 .

2. Etudier le signe de f ′(x) sur l’intervalle ^[1;7]et en déduire le tableau de variations de la fonction f . 3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. On arrondira les résultats à l’unité.

x 1 2 3 4 5 6 7 ( )

f x

4. Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthogonal.

On prendra pour unités graphiques : 1 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.

Un artisan fabrique entre 1 et 7 poupées de collection par jour. Le coût unitaire de fabrication de x poupées, exprimé en euros, est égal à ^{f x( )} (x est compris entre 1 et 7).

5. Combien faut-il produire de poupées pour que le coût unitaire de fabrication soit minimal ? Quel est ce coût minimal ?

6. Le prix de vente d’une poupée est de 20 euros.

Par lecture graphique, déterminer combien de poupées l’entreprise doit produire pour réaliser un bénéfice.

EXERCICE 4 5 points

Une eau minérale est dite « magnésienne » lorsqu’elle contient plus de 50 mg de magnésium par litre.

Une usine produit de l’eau minérale qu’elle vend en bouteilles de 1 litre.

L’eau provient de deux sources, notées « source A » et « source B ».

La « source A » fournit 70 %de la production totale des bouteilles d’eau et la « source B »

le reste de cette production. Les contrôles de qualité ont montré que 20 % des bouteilles produites par la « source A » et 10 %des bouteilles produites par la « source B » ont un taux de magnésium qui dépasse 50mg par litre. On prélève au hasard une bouteille d’eau parmi la production totale de la journée.

Toutes les bouteilles d’eau ont la même probabilité d’être prélevées.

On définit les évènements suivants :

A : « la bouteille d’eau provient de la source A », B : « la bouteille d’eau provient de la source B »,

M : « l’eau contenue dans la bouteille est magnésienne ».

Dans la suite, la probabilité d’un évènement X est notée ^{p X}

 

. 1. Déduire des informations de l’énoncé les probabilités suivantes : a. ^{p A}

 

, ^{p B}

 

.

b. La probabilité deM sachantAnotée p MA

 

et la probabilité deM sachantBnotéep MB

 

. 2. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

3. a. Calculer la probabilité, ^{p A M}



^



, que la bouteille d’eau provienne de la « source A » et que son eau soit magnésienne.

b. Calculer ^{p B}



^M



. 4. Montrer que ^{p M}

 

^0,17.

5. Calculer la probabilité que l’eau contenue dans une bouteille provienne de la « source A » sachant qu’elle est magnésienne. On arrondira le résultat au centième.

A B C

1 Mois (n) A_n B_n

2 1 150 130

3 2 170 156

4 3

5 4

6 5

7 6

Correction Exercice 1

1. Le taux d’évolution entre 2000 et 2003 est donné par la formule : ^{2003 2000}

2000

704 613 91

0,14845

613 613

v v

t v

 

    , soit environ ^14,85%. Réponse b.

2.Soit tm le taux d’évolution moyen entre 2000 et 2007 et tgle taux d’évolution global entre 2000 et 2007.

(n7) tmest donné par la formule : ¹  tg



¹ tm



ⁿ, on obtient ^{tm  }



^{1 tg}



^1/n1.

Or ^{2007 2000}

2000

808 613 195

0,31810

613 613

g

v v

t v

 

    , soit environ ^{31,81 %} Réponse a.

Donc on a : t_m  



^{1 0,3181}



^{1/ 7} ¹



^1,3181



^{1/ 7} 1 1,040245 1 0,04025  , soit environ ^4,025%. 3.le nombre d’hôtels 4 étoiles a augmenté de 2,51 % entre 1999 et 2000.

Le nombre d’hôtels 4 étoiles en 1999 est donné par : ^{2000 1999}

1999

v v

t v

  , soit ¹⁹⁹⁹

1999

2,51 613 100

v v

 

Donc 1999 1999 1999

0,0251 613 613 598

1, 0251

v v  v   . Réponse c.

4. La droite d’ajustement affine de^yen^x obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation ^{y a x b } . à l’aide de la calculatrice on obtient : ^a26,87et ^b616,83

soit ^{y26,87x616,83}. Réponse b.

Exercice 2

1. Les formules destinées à être recopiées vers le bas dans les cellules B3 et C3 pour compléter les colonnes B et C

La valeur de la cellule B3 correspond à v1



celluleB2



20.soit :B2 20

La formule qui , entrée dans la cellule C3 , permet , par recopie vers le bas est ^{:C2*1, 2} ou ^{:C2C2*0, 2}.

2.a Formule A : Florent dépose 150 € le premier mois , donc A1150 le deuxième mois dépose 150+20=170 c’est- à- dire A2 A120 et ainsi de suite , et on a au mois ( n1 ) A_n1A_n20. Comme pour passer d’un mois au mois suivant , on ajoute le même nombre 20, on déduit que la suite ^{( )}An est une suite arithmétique de premier terme A1150 et de raison a20.

b. Formule B : Florent dépose 130 € le premier mois , donc B1130 le deuxième mois dépose

20

130 130 130 0, 2 130 130 1, 2 156

100       , c’est- à- dire _{2 1} 20 _{1 1}

100 1, 2

B B  B  B , et on a au mois ( n1 ) B_n1B_n0, 2B_n 1, 2B_n.

Comme pour passer d’un mois au mois suivant , on multiplie par le même nombre ^{1, 2}, on déduit que la suite ^{( )}Bn est une suite géométrique de premier terme B1130 et de raison ^{q1, 2}.

3. Formule A : la suite ^{( )}An est une suite arithmétique de premier terme A1150 et de raison, donc on a : A_n A120(n 1) 150 20( n1).

Formule B : la suite ^{( )}Bn est une suite géométrique de premier terme B1130 et de raison ^{q1, 2}. Donc on a B_n 

 

1, 2 ^n1B1130 1, 2

 

^n1.

4. a. On cherche le montant 6^ème dépôt , pour chaque formule : Formule A : A6 A120(6 1) 150 20 5 250    

Formule B : B6 

 

1, 2 ^{5 1} B1130 1, 2

 

⁵ 323arrondi à l’unité.

b. On cherche la somme économisée pendant 6 mois pour chaque formule :

Formule A :



1 6



6 1 2 ... 6

2

n A A

S A A A 

     ,soit

 

6

6 150 250 6 400

2 2 1200

S     

Formule B : _{6 1 2 6 1} 1

' ...

1 qn

S B B B B

q

      

 , soit

^{S'6 1301 (1, 2)}_{1 1, 2}^_ ^{6 130(1, 2)}_{0, 2}^{61650}



^{(1, 2)6 1}



¹²⁹¹

c. Comme Florent a besoin au moins 1250 € , il a donc intérêt à choisir la formule B.

Exercice 3

1. f x( ) 2 x²20x40 16 ln( ) x

La fonction^f est dérivable comme somme des fonctions dérivables sur ^[1;7] et on a : 16 '( ) 4 20

f x x

   x

4 2 20 16

'( ) x x

f x x

 

 . Or 4(x4)(x 1) 4(x² x 4x4) 4 x²4x16x16 4 x²20x16. Donc _{f x'( )} ⁴



^{x 4}

 

^{x 1}



x

 

 .

2.pour tout réel ^{x[1;7 ]}, on a 4

x 0, donc le signe de ^{f x'( )} dépend du signe de



^x4

 

^x1



^{f x'( ) 0   x 4 0 ou x  1 0 x4 ou x1} x 1 4 7

4

x ^ 0 + 1

x 0 + + '( )

f x 0 ^ 0 +

On déduit le tableau de variation sur l’intervalle ^{[1;7 ]} 3. tableau de valeurs :

x 1 2 3 4 5 6 7 ( )

f x 22 19 16 14 16 21 29

2 3 4 5 6 7

14 16 18 20 22 24 26 28 30

0 1

10 12

x y

5. D’après le tableau de variation , on déduit que la fonction ^f admet un minimum en x4égal à 14 . ( valeur arrondi à l’unité ).

x 1 4 7 '( )

f x ^ 0 + ( )

f x 22 29 14

Il faut donc produire 4 poupées pour rendre minimal le coût unitaire de fabrication et dans ses conditions Le coût minimal sera environ 14 euros .

6. Pour que l’entreprise réalise un bénéfice il faut que ^{f x( ) 20} ( attention ici on travaille avec le coût unitaire et non le coût total ).donc graphiquement on trace la droite ( D)d’équation : ^y20 .

à l’aide du graphique ci-dessus les abscisses entières des points situés en dessous de la droite (D) sont : 2 ; 3 ; 3 ; 4 ;5, donc il faut produire entre 2 et 5 poupées pour que l’entreprise réalise un bénéfice.

Exercice 4

1.a.70%de la production totale de bouteilles d’eau viennent de la « source A », donc on a :

70

( ) 0,7

P A 100 .

La probabilité de B =« les bouteilles d’eau viennent de la « source B » est : ^{P B( ) 1  p A}

 

^{ 1 0,7 0,3} ( puisque les événements A et B sont contraires).

b. les contrôles de qualité ont montré que 20% des bouteilles produites par la « source A » et 10%

des bouteilles produites par la « source B » ont un taux de magnésium qui dépasse 50 mg par litre donc on a :

 

^{20 0, 2}

A 100

p M   et

 

^{10 0,1}

B 100

p M  

2.D’après la règle du nœud on a : ^{p MA}

 

^{ 1 p MA}

^{ }

^{ 1 0, 2 0,8}

^{p MB}

 

^{ 1 p MB}

^{ }

^{ 1 0,1 0,9} , d’où l’arbre ci-contre : 3. la probabilité, ^{p A M}



^



, que la bouteille d’eau provienne de la « source A » et que son eau soit magnésienne est :

P A M⁽  ⁾P M_A^{( )}P A( ) 0, 2 0,7 0,14   .

La probabilité, ^{p B}



^M



, que la bouteille d’eau provienne de la « source B » et que son eau soit magnésienne est : P B⁽ M⁾P M_B^{( )}P B( ) 0,1 0,3 0, 03  

4. On cherche la probabilité de l’événement : M : « l’eau contenue dans la bouteille est magnésienne ».

Or A, B et M forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales on a : ^{M }



^{A M}

 

^{ BM}



.



^{A M}



et



^BM



sont disjoints , donc d'après la formule des probabilités Totales on a : p M^{( )} p A M⁽  ⁾P B⁽ M) 0,14 0, 03 0,17  

5. La probabilité que l’eau contenue dans une bouteille provienne de la « source A » sachant qu’elle est Magnésienne est égale à

   

 

^{0,14 140,17 17 0,82}

M

p A M

p A

p M

     , arrondie au centième.

A

B

M

M 0,7

M M 0,1 0,3

0,8 0,2

0,9