Recherche de chemins de coût minimal
avec l’algorithme A*
Mise en œuvre pratique
Olivier NOCENT
IUT de Reims-Châlons-Charleville rue des crayères, BP 1035
51687 Reims Cedex 2
Introduction
Objectif : Déterminer, pour un agent
*donné, un chemin de coût minimum depuis un sommet source vers un sommet destination au sein d’un graphe orienté.
Un agent est un objet informatique autonome utilisé pour représenter une entité mobile dotée d’un comportement (humain, animal, véhicule,
…)
Applications
Jeux vidéo
Animation des personnages non joueurs (RPG, FPS)
Déplacement réaliste d’un personnage contrôlé par le joueur vers un objectif désigné par le joueur (RTS)
Simulation – vie artificielle
Etude du comportement d’une foule, du traffic automobile, …
Effets spéciaux (scènes de bataille, …)
Représentation du graphe à partir
d’informations topographiques
Relations d’adjacence : grille carrée
Prairie Pont
Relations d’adjacence : grille hexagonale
Prairie Pont
Relations d’adjacence : points visibles
Obstacles Couloirs
Coût des arcs
Signification du coût d’un arc :
Distance kilométrique
Recherche de chemins de longueur minimale
Temps (nécessaire au franchissement de l’arc)
Recherche de chemins en temps minimum
Consommation de carburant
Rechercher de chemins « économes »
Coût des arcs : grille carrée
10 10
10 10
Coût des arcs : grille hexagonale
10
10 10 10
10
10 10
10
10
10 10
10
Triangle équilatéral
Coût des arcs : pondération en fonction de la nature de l’environnement
10 10 10
10 40
40 10
10
40 10
10 10
10 80
10
40
10
40 80
40 40
80
40 80
Prairie Montagne
Coût des arcs : pondération en fonction de la nature de l’agent
C C
Coût du franchissement d’un pont
C = 10 pour un humain.
C = 50 pour une voiture.
C = 500 pour un semi-remorque.
Algorithme A*
Principe général : évaluation du coût total d’un sommet
Coût total (F) = Coût depuis la source (G) + Coût vers la destination ( H)
G : Coût depuis la source
Algorithmes classiques (Ford, Bellman, Dijkstra)
Gi = min Gj + Cij / i prédecesseur de j Cij coût de l’arc (i,j)
H : Coût vers la destination
Difficile puisque le reste du chemin (vers la destination) est encore inconnu.
Coût vers la destination
Pourquoi évaluer un coût vers la destination ?
Afin de resserrer l’ensemble des sommets à explorer en privilégiant les sommets « qui semblent » nous rapprocher de la destination.
Remarque
Dans le cas d’un algorithme de recherche plus classique (Dijsktra), on effectue une recherche exhaustive parmi TOUS les sommets.
Conséquence
l’algorithme A* est plus performant que n’importe quel autre algorithme puisqu’il diminue l’ensemble des sommets à explorer.
Coût vers la destination
Comment évaluer un coût vers la destination ?
En utilisant des heuristiques (prédictions) afin d’évaluer un coût vers la destination INFERIEUR au coût réel (encore inconnu).
A ce titre, A* est un algorithme optimiste.
Remarque
Si l’heuristique était supérieur au coût réel, on risquerait de générer un chemin qui ne soit pas minimal.
Distance euclidienne
S
D 40
H 20
Théorème de Pythagore
H 2 = (Coté oppose) 2 + (Coté adjacent) 2
H 2 = 40 2 + 20 2 = 2000
H = 20 x (5) 1/2
Distance de Manhattan
S
D
Nombre de cellules, en horizontal et en vertical entre la source et la destination.
Plus conforme à la nature des déplacements autorisés (haut, bas, gauche, droite)
Algorithme A*
Initialisation
Sommet source (S)
Sommet destination (D)
Liste des sommets à explorer (E) : sommet source S Liste des sommets visités (V) : vide
Tant que (la liste E est non vide) et (D n’est pas dans E) Faire + Récupérer le sommet X de coût total F minimum.
+ Ajouter X à la liste V
+ Ajouter les successeurs de X (non déjà visités) à la liste E en évaluant leur coût total F et en identifiant leur prédécesseur.
+ Si (un successeur est déjà présent dans E) et (nouveau coût est inférieur à l’ancien) Alors
Changer son coût total
Changer son prédécesseur FinSi
Exemple 1
S
D
S
D
Sommet source
Sommet destination Obstacle
Exemple 1
S
10 + 30
D
10 + 50 10 + 50
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Référence au
Exemple 1
S
10 + 30
D
10 + 50 10 + 50
20 + 40
20 + 40 Sommet déjà visité
Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Exemple 1
S
10 + 30
D
10 + 50 10 + 50
20 + 40
20 + 40
20 + 60
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Référence au
Exemple 1
S
10 + 30
D
10 + 50 10 + 50
20 + 40
20 + 40
20 + 60
20 + 60
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Exemple 1
S
10 + 30
D
10 + 50 10 + 50
20 + 40
20 + 40
20 + 60
20 + 60
30 + 50 Sommet déjà visité
Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Référence au
Exemple 1
S
10 + 30
D
10 + 50 10 + 50
20 + 40
20 + 40
20 + 60
20 + 60
30 + 50 30 + 30 Sommet déjà visité
Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Exemple 1
S
10 + 30
D
10 + 50 10 + 50
20 + 40
20 + 40
20 + 60
20 + 60
30 + 50 30 + 30 40 + 20 Sommet déjà visité
Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Référence au
Exemple 1
S
10 + 30
D
10 + 50 10 + 50
20 + 40
20 + 40
20 + 60
20 + 60
30 + 50 30 + 30 40 + 20 50 + 10
50 + 10
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Exemple 1
S
10 + 30
10 + 50 10 + 50
20 + 40
20 + 40
20 + 60
20 + 60
30 + 50 30 + 30 40 + 20 50 + 10
50 + 10
60 + 20
60 + 0
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Référence au
Exemple 1
S
D
Exemple 2
S
D
S
D
Sommet source
Sommet destination Obstacle
Exemple 2
S
D
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination 10 + 50 10 + 30
Exemple 2
S
D
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Référence au 10 + 50 10 + 30
Exemple 2
S
D
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination 10 + 50 10 + 30
20 + 60 20 + 40
Exemple 2
S
D
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Référence au 10 + 50 10 + 30
20 + 60 20 + 40 30 + 50
Exemple 2
S
D
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination 10 + 50 10 + 30
20 + 60 20 + 40 30 + 50
Exemple 2
S
D
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Référence au 10 + 50 10 + 30
20 + 60 20 + 40 30 + 50
30 + 70
Exemple 2
S
D
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Référence au 10 + 50 10 + 30
20 + 60 20 + 40 30 + 50
30 + 70
40 + 60
Exemple 2
S
D
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Référence au prédécesseur 10 + 50 10 + 30
20 + 60 20 + 40 30 + 50
30 + 70
40 + 60 50 + 50
Exemple 2
S
D
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Référence au 10 + 50 10 + 30
20 + 60 20 + 40 30 + 50
30 + 70
40 + 60 50 + 50 60 + 40
Exemple 2
S
D
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Référence au prédécesseur 10 + 50 10 + 30
20 + 60 20 + 40 30 + 50
30 + 70
40 + 60 50 + 50 60 + 40 70 + 30
Exemple 2
S
D
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Référence au 10 + 50 10 + 30
20 + 60 20 + 40 30 + 50
30 + 70
40 + 60 50 + 50 60 + 40 70 + 30 80 + 20
Exemple 2
S
D
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Référence au prédécesseur 10 + 50 10 + 30
20 + 60 20 + 40 30 + 50
30 + 70
40 + 60 50 + 50 60 + 40 70 + 30 80 + 20 90 + 10
Exemple 2
S
Sommet déjà visité Sommet à explorer
G + H
Coût depuis la source
Coût vers la destination
Référence au 10 + 50 10 + 30
20 + 60 20 + 40 30 + 50
30 + 70
40 + 60 50 + 50 60 + 40 70 + 30 80 + 20 90 + 10 100 + 0
Exemple 2
S
D
Structure des données : détail d’implémentation
Initialisation
Sommet source (S) Sommet destination (D)
Liste des sommets à explorer (E) : sommet source S Liste des sommets visités (V) : vide
Tant que (la liste E est non vide) et (D n’est pas dans E) Faire + Récupérer le sommet X de coût total F minimum.
+ Ajouter X à la liste V
+ Ajouter les successeurs de X (non déjà visités) à la liste E en évaluant leur coût total F et en identifiant leur prédécesseur.
+ Si (un successeur est déjà présent dans E) et (nouveau coût est inférieur à l’ancien) Alors
Changer son coût total Changer son prédécesseur FinSi
Structure des données : détail d’implémentation
Nécessité de mettre en œuvre un conteneur permettant de :
Récupérer un élément de coût total minimum.
Insérer un nouvel élément et trier le conteneur.
Mettre à jour le coût total d’un élément déjà présent dans le conteneur.
Déterminer si le conteneur est vide.
Solution « élégante » : files
Template <class T>
class std::queue {
public:
…
bool empty();
T pop() {return pop_front();}
void push(T t) { push_back(t);}
};
t
Solution « élégante » : files à priorité
Le type T doit surcharger l’opérateur de comparaison <
Template <class T>
class std::priority_queue {
public:
…
bool empty();
T pop() {return pop_front();}
void push(T t) { /*insertion triée*/ } };
t
Insertion triée « efficace »
Utilisation d’un arbre binaire d’éléments
Le fils gauche est strictement inférieur au nœud courant.
Le fils droit est supérieur ou égal au nœud courant.
5
3 12
4
1 7 20
Structure des données : std::priority_queue
Nécessité de mettre en œuvre un conteneur permettant de :
Récupérer un élément de coût total minimum : OUI
Insérer un nouvel élément et trier le conteneur : OUI
Mettre à jour le coût total d’un élément déjà présent dans le conteneur : NON
Déterminer si le conteneur est vide : OUI
Structure de données personnalisée : MyPriorityQueue
template<class T>
class MyPriorityQueue {
public : T pop();
void push();
private:
std::vector<T> heap;
};
Structure de données personnalisée : MyPriorityQueue
template<class T>
T MyPriorityQueue::pop() {
// L’élément le plus grand est au début // du conteneur heap : position 0.
T value = heap.front();
// 1. Déplace le premier élément à la position N-1.
// 2. Trie les éléments de la position 0 à N-2 std::pop_heap(heap.begin(), heap.end(), Inf());
// Supprime l’élément en position N-1 // c’est à dire, l’ancien premier.
heap.pop_back();
return value;
}
Structure de données personnalisée : MyPriorityQueue
template<class T>
T MyPriorityQueue::push(T value) {
// Ajout de la valeur en queue du conteneur // position N.
heap.push_back(value);
// Trie les éléments de la position 0 à N.
std::push_heap(heap.begin(), heap.end(), Inf());
return value;
}
Un peu de lecture
Game Programming Gems 1 by Mark de DeLoura
(Charles River Media ) August, 2000
http://www.gamedev.net