BAC-STG-CFE-MERCA-GSIPOLYNESIE-SEPTEMBRE-2009-AVEC CORRECTION

(1)

EXERCICE 1 6 points

En octobre 2007, une entreprise française de transport lance une nouvelle tarification et commande auprès d’un institut de sondage une enquête de satisfaction sur l’ensemble de sa clientèle.

Cette étude est réalisée auprès d’un échantillon représentatif de 4 000 clients et ne concerne qu’un seul et même type de transport.

Lors de l’étude, deux questions sont posées : l’une demandant si le client possède ou non une carte de réduction et l’autre concernant la fréquence d’utilisation de ce mode de transport.

• Parmi les personnes interrogées 35 %, soit 1 400 personnes, ont une carte de réduction.

• 1 190 personnes ayant une carte de réduction utilisent ce mode de transport au moins dix fois par an.

• Un dixième des personnes de l’échantillon représentatif, sans carte de réduction, voyage au moins dix fois par an.

On choisit au hasard un client parmi les 4 000 interrogés et on considère les évènements C et T suivants : C : « le client interrogé détient une carte de réduction »,

T : « le client interrogé utilise ce mode de transport au moins dix fois par an ».

Sauf indication contraire, on donnera les valeurs exactes des résultats demandés.

1. Donner grâce à l’énoncé les probabilités conditionnelles p TC

 

)

et ^{p T}_C

 

.

2. a. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :

b. Calculer la probabilité ^{p C T}



^



.

c. Calculer la probabilité que le client interrogé utilise ce mode de transport au moins dix fois par an.

d. Les deux évènements C et T sont-ils indépendants ?

3. Calculer la probabilité que, sachant qu’il voyage au moins dix fois

par an, le client ait une carte de réduction. On donnera une valeur arrondie à 0,01.

EXERCICE 2 4 points

Un organisme de jeu va récompenser un heureux gagnant. Celui-ci doit faire le choix entre les deux propositions suivantes pour lesquelles il s’agit à chaque fois d’une somme d’argent versée annuellement, et ceci à partir de l’année 2008 et pendant 20 ans. Le bénéfice du jeu s’achèvera donc en 2027, et le gagnant touchera alors son dernier versement.

S’il choisit la proposition A, il touchera 20 000 ( en 2008, puis chaque année, la somme versée augmentera de 4 % par rapport à l’année précédente.

En choisissant la proposition B, 20 000 ( lui seront versés en 2008, puis chaque année, la somme versée sera augmentée de 1 025 ( par rapport à l’année précédente.

Pour l’aider à choisir la solution la plus avantageuse, on note :

anla somme (en euros) versée pendant l’année 2008n s’il choisit la proposition A.

bn la somme (en euros) versée pendant l’année 2008n s’il choisit la proposition B.

Ainsi ^a₀^²⁰⁰⁰⁰, ^b₀^²⁰⁰⁰⁰. ^a₁₉ et ^b₁₉ correspondent aux sommes versées en 2027.

1. Montrer que la suite (^a_n) est géométrique et donner l’arrondi à l’euro du versement reçu en 2020 s’il choisit la formule A.

2. Montrer que la suite (^b_n) est arithmétique et donner l’arrondi à l’euro de la somme reçue en 2020 s’il choisit la formule B.

3. À l’aide de la calculatrice, déterminer l’année à partir de laquelle on a : bn an.

C

T

T T

T 0,35

0,7

0,1

(2)

EXERCICE 3 4 points

Soit ^f la fonction définie sur ^{[0,5 ;6 ]} par ^{f x}^{( ) 2}^ ^x^{ }^{3 4ln( )}^x .

On appelle C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (Annexe 1).

1. Montrer que la dérivée ^f ′ vérifie ²



²



'( ) x

f x x

  .

2. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction ^f .

3. Montrer que la courbeC admet une tangente horizontale au point d’abscisse 2. On la note T . Donner une équation de la droite T .

4. En utilisant le graphique ou le tableau de variations montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution notée ^x₀ dans l’intervalle [2 ; 6].

Donner, à l’aide d’une calculatrice, l’arrondi de ^x₀ à 0,01 près.

5. Déterminer une équation de la tangente ^T₁ à la courbeC au point d’abscisse 1.

Dans le repère de l’annexe 1, à rendre, tracer les tangentes T et ^T₁ à la courbe C . EXERCICE 4 6 points

Un fabricant de vélos fabrique deux types de cadres : le cadre de type TU et le cadre de type TR.

Pour cela, il utilise trois machines : la machine A pour assembler les tubes, la machine P pour les polir et le8 peindre, la machine M pour monter les suspensions.

Pour fabriquer un lot de 100 cadres, de type TU, il utilise 1 heure la machine A, 3 heures la machine P et n’utilise pas la machine M, de type TR, il utilise 2 heures la machine A, 1 heure la machine P et 2 heures la machine M.

Il dispose de 60 h d’utilisation par semaine pour la machine A, 90 h pour la machine P, et 42 h pour la machine M.

L’objectif de cet exercice est de trouver comment le fabricant doit utiliser ses machines dans la limite du temps imparti pour réaliser un bénéfice maximum.

On note x le nombre de lots de 100 cadres de type TU, et y le nombre de lots de 100 cadres de type TR.

On admet que les contraintes se traduisent par le système (S) suivant :

 

60

3 90

: 2 42

0 0

x y S x y

y x et y

  

  

 

  



1. On a représenté sur le graphique fourni en annexe 2, à rendre, les droites D1, D2 et D3 d’équations Respectives : 1

2 30

y  x , ^y^{  }³^x ⁹⁰ et ^y^²¹.

a. Identifier ces droites sur le graphique en y portant le nom des droites.

b. Résoudre graphiquement le système (S). (On hachurera les zones du plan qui ne conviennent pas.

c. À l’aide du graphique, répondre aux questions suivantes :

– le fabricant peut il produire 5 lots de 100 cadres de type TU et 25 lots de 100 cadres de type TR?

– le fabricant produisant 20 lots de 100 cadres de type TU; quel est alors le maximum de lots de type TR qu’il peut alors réaliser ?

2. Pour un lot de 100 cadres TU, le fabricant réalise 5 000 euros de bénéfice, et pour un lot de 100 cadres TR, il réalise 7 000 euros de bénéfice.

a. Exprimer en fonction de x et y le montant des bénéfices B, en milliers d’euros, du fabricant.

b. Résoudre le système :

1 30

2

3 90

y x

   



   



c. Sur l’annexe 2, à rendre, tracer la droite d’équation 5 7 15

y  x correspondant à un bénéfice de 105 000 euros.

d. Déterminer par le calcul le couple (x, y) qui fournira au fabricant de vélos le bénéfice maximal.

Calculer ce bénéfice en milliers d’euros.

(3)

Annexe 1 à rendre avec la copie

C

2 3 4 5 6

2

-1

-2

-3

0 1

1

x y

Annexe 2 à rendre avec la copie

(4)

8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 4

6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

-2

0 4

2

x y

Exercice 1

1. Parmi les 1400 personnes ayant une carte de réduction , 1190 personne possèdent une carte de réduction utilisant ce mode de transport au moins dix fois par an . donc

 

¹¹⁹⁰ ^0,85

C 1400

p T   .

un dixième des personne de l’échantillon représentatif , sans de réduction , voyage au moins dix fois par an , donc

 

¹ ^0,1

C 10

p T  

2. a. Parmi les personnes interrogées 35 % , donc ^{p C}

 

^^0,35 . C et _C sont contraires donc p C

 

 ¹ p C

^{ }

 1 0,35 0,65 .

b.C T est l’événement « la personne une carte de réduction et voyage au moins dix fois par an ». donc

 

¹¹⁹⁰ ^{0, 2975}

p C T  4000 . on peut aussi utiliser la formule de probabilité conditionnelle

soit p C T







 p T_C

 

p C

 

0,85 0,35 0, 2975  .

c. Cet Cforment une partition disjointe de l’ensemble de référence, donc en appliquant la Formule des probabilités totales on a :

C

T

T T

T 0,35

0,85

0,65 0,1

0,90 0,15

(5)

p T

 

 p C T







 p C T







 p T^C

^{ }

p C

^{ }

 p TC

^{ }

p C

 

. p T

 

0, 2975 0,1 0, 65 0,3625   .

d. Cet T sont indépendants si ^{p C T}



^



^ ^{p C}

 

^^{p T}

 

, or ^{p C T}



^



^^{0, 2975} et

p C

 

p T

 

0,35 0,3625 0,126875  , donc ^{p C T}



^



^ ^{p C}

 

^^{p T}

 

, et les événements Cet T Ne sont pas indépendants.

3. la probabilité que, sachant qu’il voyage au moins dix fois par an, le client ait une carte de réduction est :

   

 

^{0, 2975} 0,820689 0,82 0,3625

T

p T C

p C p C

     valeur arrondie au centième.

Exercice 2

1. S’il choisit la proposition A, il gagnera 20000 € en 2008 , puis chaque année , la somme versée augmentera de 4 % par rapport à l’année précédente. Donc pour passer de l’année anà l’année an_1

on multiplie par le coefficient : 1 0, 04 1, 04  et par conséquent : a_n_11,04a_n.

La suite

 

an est donc une suite géométrique de raison ^q^^1,04 et de 1^er terme ^a₀^²⁰⁰⁰⁰, On a pour tout entier naturel ⁿ, on a an ^{20000 1,04}

 

ⁿ.

en 2020 : 2008 12 2020  , d’où a1220000 1,04

 

¹²32021€.

2. En choisissant la formule B, 20000 € lui sont versés en 2008 , puis chaque année , la somme versée Sera augmentée de 1025€ par rapport à l’année précédente . Donc pour passer de l’année b_nà l’année b_n_₁on ajoute 1025 € , d’où b_n_₁a_n1025

La suite

 

bn est donc une suite géométrique de raison a1025 et de 1^er terme ^b₀ ^²⁰⁰⁰⁰, On a donc pour tout entier naturel ⁿ, on a b_n 20000 1025 n. b₁₂20000 1025 12 32300€   Le versement reçu en 2020 s’il choisit la formule B sera 32300 €.

3. En 2020 : a1232021€ et b1232300€ a12 b12

En 2021 : a1333301€ et b1333325€ a13 b13

En 2021 : a1434634€ et b1434350€ a14 b14.Donc à partir de l’année 2022 on a : an bn. Exercice 3

1. 1 2 4 2( 2)

'( ) 2 4 x x

f x x x x

 

     .

2. pour tout ^x^^{[0,5 ;6]}, 2

x 0. Le signe de ^{f x}^{'( )}dépend du signe de x2. ^x 0 2 6

'( )

f x ^ 0 + ( )

f x

3. pour x2, f x'( ) 0 donc la courbe C admet une tangente T parallèle à l’axe des abscisses au point d’abscisses 2. On sait queTa pour équation y f a x p'( )  donc y f '(2)x p  0 p, or Tpasse par le point A(2; (2))f . f(2) 2 2 3 4 ln 2 1 4 ln 2      et par conséquent l’équation de la tangente Test y 1 4ln 2.

4. Graphiquement , on constate que la courbe C coupe l’axe des abscisses une seule fois dans l’intervalle ^{[2 ;6 ]}, donc l’équation ^{f x}^{( ) 0}^ admet une unique solution x0 dans l’intervalle ^{[2 ;6 ]}.

A l’aide de la calculatrice : ^f^(4,51)^{ }^{0, 005 0}^ et f(4,52) 0,006 0  donc x04,51. 5. Une équation de la tangente T1 à la courbe C au point d’abscisse 1 est ^y^ ^f ^'(1)^{x p}^ f(1) 2 3 4 ln1       1 0 1et 2(1 2)

'(1) 2

f  1  

(6)

^y^{  }²^{x p} mais la tangente passe par le point ^M



^{2; 1}^



donc y_M  2x_M        p 1 2 p p 1 etT₁ a pour équation y  2x 1.

^T¹

T

C

2 3 4 5 6

2

-1

-2

-3

0 1

1

x y

Exercice 4

1. On a représenté sur le graphique fourni en annexe 2, à rendre, les droitesD1,D2etD3d’équations Respectives : 1

2 30

y  x , ^y^{  }³^x ⁹⁰ et ^y^²¹ .

a. D1 a pour ordonnée à l’origine 30. puis la droite D1passe par les points K(0 ;30) et L(60 ;0) et D1 a pour coefficient directeur 0 30 30 1

60 0 60 2

m    

 , donc D1 : 1

2 30 y  x .

D3 est une droite parallèle à l’axe des abscisses donc D3a pour coefficient directeur m0 et elle passe par le point ^C^{(0 ;21)}, donc D3 a pour équation : ^y^²¹.

La droite D2 passe par les points ^E^{(30 ;0)} et ^H^{(20 ;30)} , on calcule son coefficient directeur

30 0 30

20 30 10 3

m    

  , comme elle passe par le point ^D^{(30 ;0)}, les coordonnées de D vérifie L’équation : yD  ³xD     p ⁰ ^{3 30}  p p ⁹⁰ et D2 a pour équation : ^y^{  }³^x ⁹⁰. b.

(7)

S

D1 : y=-0,5x+30

D₃



^MAX

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 -5

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

-2

0 5

2

x y

M A D

H

c. 5 lots de 100 cadres de type TU et 25 lots de 100 cadres de type TR correspond au point M des coordonnées ^M^{(5 ;25)} qui n’est pas dans la domaine de solution.

Par conséquent le fabricant n’est pas produire 5 lots de 100 cadres de type TU et 25 lots de cadres de type TR.

20 lots de 100 cadres de type TU l’ordonnée la plus grande dans le domaine de solution est égale à 20 Ce qui correspond au point N des coordonnées ^N^{(20 ;20)} qui est dans la domaine de solution.

Par conséquent le fabricant peut produire 20 lots de 100 cadres de type TU et 20 lots de cadres de type TR.

2.a. Pour un lot de 100 cadres de type TU, le fabricant réalise 5 000 € de bénéfice , et pour un lot de 100 cadres de type TR , il réalise 7000 € de bénéfice , donc le bénéfice en milliers d’euros a pour équation B5x7y.

b.

1 1 1

1 30 2 30 2 30 2 30 12 30 18

2 1 1 5 24

3 90 30 3 90 3 90 30 60

2 2 2

y x y x y x y

y x

y x x x x x x x

           

           

    

     

              

   

.

(8)

d. Graphiquement , à l’aide de la condition posée sur la droite d’équation 5 7 15

y  x , on cherche la parallèle à, passant par le domaine de contraintes et coupant l’axe des ordonnés dont l’ordonnée est maximale . On trouve que le point donnant le bénéfice maximal est le point d’intersection de D1etD2

dont les coordonnées sont solution du système de la question précédente. Donc le fabricant peut réaliser un bénéfice maximum en réalisant la production de 24 lots de type TU et 18 lots de type TR

avec un bénéfice de : B 5 24 7 18 120 126 246     milliers d’euros .