sujet bac-Réunion-STG-CFE-M-GSI-2009-AVEC CORRECTION

Baccalauréat STG Mercatique La Réunion 23 juin 2009 EXERCICE 1 6 points

Une société a introduit sur le marché français au début de l’année 2004 un produit au prix de 1 000 €.

Compte tenu de l’évolution du marché et des coûts de fabrication, son prix n’a cessé d’augmenter.

Pour cette société, la France est divisée en deux régions de tarification, la région Nord et la région Sud.

Dans la région Sud le responsable des ventes a décidé de laisser fluctuer ce prix en fonction de l’offre et de la demande. Le prix de vente de cet article dans la région Sud est reporté dans la colonne B de l’extrait de feuille de calcul ci-dessous.

Dans la région Nord. le responsable des ventes a décidé d’appliquer une hausse annuelle régulière de 10 %.

Une partie des prix et des variations de prix sont consignées dans la feuille de calcul ci-dessous.

Le format des colonnes B et E est un format monétaire à zéro décimale.

Le format des colonnes C, D, F et G est un format pourcentage à deux décimales.

A B C D E G G

1 Région Sud Région sud

2 Variation du prix en % Variation du prix en %

3 Année Prix Par

rapport à l’année précédente

Par rapport à l’année2004

Prix Par rapport à l’année précédente

Par rapport à l’année

2004

4 2004 1000 1000

5 2005 1085 8,5% 8 ,5 % 1100 10,00% 10,00%

6 2006 1160 6,91% 16 % 1210 10 ,00% 21,00%

7 2007 1300 12,07 % 30 % 1331 10,00% 33,1%

8 2008 1470 47,00% 10,00%

1. a. Donner une formule qui, entrée dans la cellule C5, permet, par recopie vers le bas, d’obtenir la plage de cellules C5 :C8.

b. Donner une formule qui, entrée dans la cellule D5, permet, par recopie vers le bas, d’obtenir la plage de cellules D5 :D8.

c. Donner une formule qui, entrée dans la cellule E5, permet, par recopie vers le bas, d’obtenir la plage de cellules E5 :E8.

2. Calculer les valeurs qui devraient figurer dans les cellules C8, E8 et G8 et les reporter sur la copie en recopiant la ligne 8 de la feuille de calcul.

3. Déterminer le taux moyen d’augmentation annuelle dans la région Sud entre 2004 et 2008 (arrondir à 0,01 %).

4. On suppose que le responsable de la région Nord maintient. au cours des années suivantes, une hausse annuelle de 10 %. Soit n un entier naturel. On note ^p_n le prix. en euros, de ce produit au cours de l’année 2004+n dans la région Nord. Ainsi, ^p₀ ^1000.

a. Préciser la nature de la suite (^p_n), puis exprimer ^p_n en fonction de n.

b. Déterminer l’année à partir de laquelle le prix dépassera 1 800 ( dans la région Nord.

EXERCICE 2 4 points

Un appareil électronique est mis en vente dans un magasin à partir de l’année 2000.

Le directeur décide d’arrêter de proposer cet appareil à la vente dès que le nombre d’appareils vendus annuellement sera inférieur à 50.

Il étudie avec un tableur le résultat des ventes depuis l’année 2000, dans le but de prévoir à quel moment il devra cesser de vendre cet article.

Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Rang de l’ année ^x_i 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Nombre d’appareils vendus ^y_i

805 604 594 475 365 256 207 183 167

Le nuage de points de coordonnées ^{( ; )x y}_{i i} est représenté dans un repère orthogonal donné en annexe 1, à rendre avec la copie.

Dans ce même repère est tracée la courbe d’équation y813e^0,21x . 1. Ajustement affine

a. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au dixième).

b. On décide de retenir comme ajustement affine, la droite d’équation ^{y 80x730}. Tracer cette droite dans le repère donné en annexe 1, à rendre avec la copie.

c. Déterminer l’année, à la fin de laquelle, il devra cesser la vente du produit selon cet ajustement.

2. Ajustement exponentiel

a. À l’aide du tableur, le directeur retient comme ajustement la courbe d’équationy813e^0,21x, tracée sur l’annexe 1. En utilisant cet ajustement, déterminer l’année, à la fin de laquelle, il devra cesser la vente du produit.

b. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation.

Un collaborateur lui fait remarquer que ce modèle correspond à une baisse annuelle régulière de 19 % des ventes. Justifier cette remarque.

EXERCICE 3 5 points

Dans la liste des candidats devant passer une épreuve de mathématiques du baccalauréat STG, on compte 52 % de filles.

Les filles se répartissent de la manière suivante : 20 % sont en spécialité Gestion des Systèmes d’information (GSI), 45 % en spécialité Comptabilité et Finance des Entreprises

En ce qui concerne les candidats garçons, 30 % sont en spécialité GSI, 45 % en spécialité CFE et 25 % en spécialité Mercatique.

On choisit au hasard un nom dans la liste des candidats. On note : F l’évènement « le nom choisi est celui d’une fille » ;

G l’évènement « le nom choisi est celui d’un garçon » ;

I l’évènement « le nom choisi est celui d’un candidat inscrit en spécialité GSI » : E l’évènement « le nom choisi est celui d’un candidat inscrit en

spécialité CFE » :

M l’évènement « le nom choisi est celui d’un candidat inscrit en spécialité Mercatique».

Les probabilités demandées seront arrondies au millième.

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.

a. Montrer que la probabilité de l’évènement Iest égale à ^{0, 248}. b. Les évènementsFetIsont-ils indépendants ?

2. Déterminer p FI

 

, la probabilité, sachantI ,de l’évènement F.

3. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Montrer que les évènements F et E sont indépendants.

EXERCICE 4 5 points Formulaire

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors^uvest dérivable sur I et

 

^{uv 'u v v u'  '}

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction eu est dérivable sur I et

 

^{eu 'u e' u.}

Une entreprise peut extraire entre 2 000 et 15 000 tonnes de minerai d’une carrière.

G F

I E M

I E M 0,20

0,30 0,52

Le résultat d’exploitation, en millions d’euros, qu’elle envisage en fonction de la quantité de minerai extraite, est représenté par la courbe C en annexe 2.

Partie A : Lecture graphique

1. Avec la précision permise par le graphique, compléter le tableau suivant : Quantité de minerai extraite x

en milliers de tonnes 2 6 9 15 Résultat d’exploitation R(x)

envisagé en millions d’euros

3,8

2. Le résultat d’exploitation R(x) est-il proportionnel à la quantité de minerai extraite ? Justifier.

3. Déterminer à partir de quelle quantité extraite le résultat d’exploitation est positif.

4. Déterminer la quantité extraite pour laquelle le résultat d’exploitation est maximum.

5. Déterminer les quantités extraites pour lesquelles le résultat d’exploitation est de 3millions d’euros.

Partie B : Utilisation d’une fonction

Le but de cette partie est d’obtenir une meilleure précision sur la détermination de la quantité à extraire pour obtenir le résultat d’exploitation maximal. La courbe C représentant le résultat d’exploitation est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [2 ; 15] par ^{f x( )}



^4x13



^e0,2x

1. Résoudre l’inéquation ^{f x( ) 60} sur l’intervalle [2 ; 15].

Donner une interprétation économique de ce résultat.

2. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 15].

Montrer que ^{f x'( )}



^{6,6 0,8 x e}



^0,2x

3. Etudier le signe de ^{f x'( )} sur l’intervalle [2 ; 15], dresser le tableau de variations de f et conclure.

Annexe 1 exercice 2

nombre des appareils vendus

Rang de l'année

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 -1

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850

-50

0 1

50

x y

Annexe2 exercice 4

Résultat d'exploitation en milliers d'euros

Quantité ( en tonnes )

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 3 4

-1

-2

-3

0 1

1

x y

Correction Exercice 1

1. a . Une formule qui, entrée dans la cellule C5, permet par recopie vers le bas , d’obtenir la plage C5 :C8 est : = (B5 - B4)/B4 *100

 

.

b. Une formule qui, entrée dans la cellule D5, permet par recopie vers le bas , d’obtenir la plage de cellules D5 :D8 est : = (B5 - $B$4)/$B$4 *100

 

ou

 

^{B5/$B$4 -1}

 

^{*100 ou}

= (B5 - B$4)/$B$4

 

^*100 ou = B5/B$4 -1

   

^*100.

c. Une formule qui, entrée dans la cellule E5 , permet par recopie vers le bas , d’obtenir la plage de cellule E5 :E8 est ^{= E 4*1,10} ou = E4 + E 4* 0,10.

2. la valeur qui figure dans la cellule C8 est : 1470 1300

100 13 0769 1300

  

  

  , %.

La valeur qui figure dans la cellule G8 est : 1464 1000

100 46 4 1000

  

  

  , %.

La valeur qui figure dans la cellule E8 est : 1331 1 10 1464 ,  .

A B C D E G G

1 Région Sud Région sud

2 Variation du prix en % Variation du prix en %

3 Année Prix Par

rapport à l’année précédente

Par rapport à l’année2004

Prix Par rapport à l’année précédente

Par rapport à l’année

2004

4 2004 1000 1000

5 2005 1085 8,5% 8 ,5 % 1100 10,00% 10,00%

6 2006 1160 6,91% 16 % 1210 10 ,00% 21,00%

7 2007 1300 12,07 % 30 % 1331 10,00% 33,1%

8 2008 1470 13 ,08% 47,00% 1464 10,00% 46,4 %

3.Le taux global d’augmentation dans la région sud entre 2004 et 2008 est 47 % d’après le tableau ci-dessus.

Soit ^t_mle taux moyen d’augmentation annuelle dans la région sud entre 2004 et 2008 est définie par :



¹t_m



⁴ ^{1 47}, t_m 



^{1 47},



^{1 4/}  1 1 1011 1 0 1011,   , , soit ^{10 11, %}.donc ^t_m ^{10 11, %}.

4.a Le responsable de la région nord maintient , au cours des années , une hausse annuelle de 10 %.

Donc on a : ₁ 10 100 1 1

n n n n

p _  p  p  , p , par conséquent la suite

 

pn est de la forme ^p_n1^{ q p}_n Et il s’ensuit que

 

pn est une suite géométrique de premier terme p₀ 1000et de raison q1 1, . b. ¹⁸⁰⁰

 

^{1 1 1000 1800}

 

^{1 1 1800 1 8 7}

1000

n n

pn   ,    ,   ,  n

on pourra utiliser la calculatrice avec

 

^{1 1, ^x} ou par le calcul on obtient :

^{n n} ln(1,8)

ln(1,1) > ln(1,8) nln(1,1) > ln(1,8) n > 6 16 ln(1,1)

   , .

Donc à partir de 2011le prix dépassera 1800 €.

Exercice 2

1.a. À l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement de ^y en ^x obtenue par la méthode des moindres carrés est : ^{y 80 1, x726 8,} ( coefficients arrondis au dixième).

b. voir graphique

c. Le directeur devra cesser la vente du produit selon cet ajustement quand ^y50, donc on doit résoudre

l’inéquation 680

80 730 50 80 50 730 680 8 5

x x x 80

            , . Donc selon cet ajustement

il devra cesser la vente du produit en 2009.

2. on utilise l’ajustement exponentiel

_{0,21 0,21}

ln 50

50 50 813

813 50 0, 21 ln 13,3

813 813 0, 21

x x

e^ e^ x x

 

 

   

          

. Donc selon cet ajustement il devra cesser la vente du produit en 2014.

b. selon ce modèle :

en 2000 c’est l’année 0 , donc f x( ) 813 e^0,21x  f(0) 813 et f(14) 813 e^{0,21 14} 42,979 43 . Notons ^t_mle temps de diminution annuelle moyen entre 2000 et 2014 donc on a :

 

^{14 43 1/14 43 1/14}

813 1 43 1 1 0,81061 1 0,18938 0,19

813 813

m m m

t t   t  

                 Soit 19%.

nombre des appareils vendus

Rang de l'année

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 -1

100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850

-50

0 1

50

x y

Exercice 3

1. Dans la liste des candidats devant passer une épreuve de mathématiques du baccalauréat STG, on compte 52 % de filles. Donc ^{p F}

 

^0,52 et p G

 

 ¹ p F

 

 1 0,52 0, 48 .

Or les filles se repartissent de la manière suivante :

20 % sont en spécialité GSI , cela signifie que parmi les fille il y a 20 % sont en spécialité GSI Donc on a : pF

 

I ^{0, 2}.

45 % en spécialité CFE cela signifie que parmi les fille il y a 45 % sont en spécialité CFE.

Donc pF

 

E ^{0, 45}.

Le reste en spécialité mercatique M cela signifie que parmi les fille il y a 100-20-45=35 % sont en spécialité M. Donc pF

 

M ^0,35.

On reprend les candidats garçons :

30 % en spécialité GSI cela signifie que parmi les garçons il y a 30 % sont en spécialité GSI.

Donc ^p_G

 

^{I 0,30}.

45 % en spécialité CFE cela signifie que parmi les garçons il y a 45 % sont en spécialité CFE.

Donc pG

 

E ^{0, 45}.

25 % en spécialité M cela signifie que parmi les garçons il y a 25 % sont en spécialité M.

Donc pG

 

M ^{0, 25}.

D’où l’arbre complet :

2. a Fet G forment une partition disjointe de l’univers Et I    F I G Ide plus ^{FI et GI} sont incompatibles donc ^{p I}

 

^{ p F}



^{ I}



^{p G}



^I



Mais en utilisant l’arbre ci-contre et on a : p F



I



 p F

 

p_F

 

I 0,52 0, 20 0,104 

p G



I



 p G

 

p_G

 

I 0, 48 0,30 0,144  .Donc p I

 

0,104 0,144 0, 248  . b. on sait que p F



I



 p F

 

p_F

 

I 0,52 0, 20 0,104 

et p F

 

p I

 

0,52 0, 248 0,129  , on déduit que : ^{p F}



^I



^{ p F}

 

^{p I}

 

et par conséquent les événements F et I ne sont pas indépendants .

3. la probabilité, sachantI ,de l’évènement F est p FI

 

.donc d’après la formule de probabilité Conditionnelle on a :

   

 

^{0, 2480,104 0, 419}

I

p F I

p F p I

    .

4.

a. Fet G forment une partition disjointe de l’univers et E   F E G Ede plus ^{FE et GE}sont incompatibles donc d’après la formule des probabilités totales on a : ^{p E}

 

^{ p F}



^E



^{ p G}



^E



Mais en utilisant l’arbre ci-contre et on a :

p F



E



 p F

 

p_F

 

E 0,52 0, 45 0, 234  ;

p G



E



 p G

 

p_G

 

E 0, 48 0, 45 0, 216  .Donc p E

 

0, 234 0, 216 0, 45  . b. on sait que p F



E



 p F

 

p_F

 

E 0,52 0, 45 0, 234 

et p F

 

p E

 

0,52 0, 45 0, 234  , on déduit que : ^{p F}



^E



^{ p F}

 

^{p E}

 

et par conséquent les événements F et E sont indépendants .

Exercice 4.

1.

Quantité de minerai extraite x en milliers de tonnes

2 6 9 15

Résultat d’exploitation R(x) 3,4 3,3 3,8 2,35

G F

I E M

I E M 0,20

0,30 0,52

0,48

0,45 0,35

0,45 0,25

envisagé en millions d’euros

2. on a : ^{2 3 6  et 3, 4 3  10, 2 3,3} , donc le tableau ci-dessus n’est pas un tableau de proportionnalité et la quantité de minerai extraite n’est proportionnelle au résultat d’exploitation . 3. La courbe C coupe l’axe des abscisses en ^{x 3, 25}.donc le résultat d’exploitation est positif pour une quantité de minerai extraite supérieure à 3,25 milliers de tonnes

4. La fonction f admet un maximum pour ^{x8, 25}. Donc la quantité extraite pour laquelle le résultat D’exploitation est maximale est égale à ^{8, 25}milliers de tonnes.

5. Les points de la courbe C dont l’ordonnée est 3 ont pour abscisses : 5,5 et 12,6.

Donc la quantité extraite pour laquelle le résultat d’exploitation est 3 millions d’euros sont : 5,5 milliers de tonnes et 12,6 milliers de tonnes.

Partie B.

1. Sur l’intervalle ^[2;15] on a : f x( ) 0 (4x13)e^0,2x 0, or _e^0,2x _0pour tout réel ^x. Donc ^{f x( ) 0 (4x13) 0}

13

( ) 0 4 13 3, 25

f x   x  x 4  .

On déduit que le résultat d’exploitation est déficitaire pour une quantité extraite inférieure à 3,25 milliers de tonnes de minerai.

2. la fonction f est dérivable sur ^[2;15], comme produit des fonctions dérivables sur ^[2;15]

Donc

     

 

0,2 0,2 0,2 0,2

0,2

'( ) 4 0, 2 4 13 4 0, 2(4 13) 4 0,8 2,6

'( ) 6,6 0,8

x x x x

x

f x e x e x e x e

f x x e

   



           

  .

3. Sur l’intervalle ^[2;15], _e^0,2x _0, donc le signe de ^{f x'( )}dépend du signe de



^{6,6 0,8x}



Donc on a :



^{6,6 0,8}



^{0 0,8 6,6 6,6 8, 25}

x x x 0,8

         .

De même



^{6,6 0,8}



^{0 0,8 6,6 6,6 8, 25}

x x x 0,8

        

On déduit que : Sur l’intervalle^{[2;8, 25]}, ^{f x'( ) 0} et la fonction ^f est croissante sur cet intervalle.

Sur l’intervalle^{[8, 25;15]},^{f x'( ) 0} et la fonction ^f est décroissante sur cet intervalle Puis on construit le tableau de variation de ^f

x 2 8,25 15 '( )

f x + 0 ^ ( )

f x 3,84

-3,35 2,33

Résultat d'exploitation en milliers d'euros

Quantité ( en tonnes )

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 3 4

-1

-2

-3

0 1

1

x y