sujet bac-STG-CFE-M-juin 2009-POLYNESIE2009-AVEC correction-

(1)

Baccalauréat STG Mercatique –CFE-Polynésie-juin 2009 La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le formulaire officiel est autorisé.

EXERCICE 1 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, trois réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte et aucune justification n’est demandée.

On vous demande de recopier sur votre copie le numéro de la question et la réponse que vous pensez être correcte.

Chaque bonne réponse rapporte un point, une question sans réponse ou fausse ne rapporte aucun point.

Partie A :

Le chiffre d’affaires d’une entreprise est de 50 000 en 2008. Le chiffre d’affaires a baissé de 9 % par rapport à 2005.

1. Le chiffre d’affaires en 2005 était, en euro, de :

54 945 47 500 52 500

2. Le taux d’évolution annuel moyen du chiffre d’affaires entre 2005 et 2008 (à 0,1 % près) est de : 3% −3% −4,5%

Partie B :

Le salaire annuel d ’un employé est de 15 240 (. Ce salaire sera augmenté de 0,7 % par an.

3. Le salaire annuel après trois ans est, en euros arrondi à l’euro près, de :

5 454 15 562 18 670 Partie C :

On considère la série statistique ci-contre :

xi 5 7 9 11 13

yi 26 22 15 12 7 4. Les coordonnées du point moyen sont :



^{16, 4 ; 9}





^{9 ;16, 4}





7, 2 ;16, 4



5.Une équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés est : ^y^{ }^{2, 4}^x^³⁸ ^y^^{2, 4}^x^³⁸ ^y^^{2, 4}^x^^{9, 7} EXERCICE 2 5 points

Une agence de voyages a proposé à ses clients un séjour à l’étranger selon deux formules : – une formule « hôtel »

– une formule « aventure »

Les deux formules ne pouvaient pas être combinées. 60 % des clients ont choisi la formule « hôtel» et 40 % ont choisi la formule « aventure ».

Une enquête de satisfaction conduite auprès de tous les clients ayant acheté ce séjour a montré que 70 % des clients de la formule « hôtel » ont exprimé être satisfaits et, parmi les clients de la formule

« aventure », ils sont 90 % à être satisfaits.

Comme annoncé dans un dépliant publicitaire, l’agence procède à un tirage au sort pour offrir un cadeau à l’un des clients de ce séjour.

On considère les évènements suivants :

H : le tirage au sort a désigné un client de la formule « hôtel » ; A : le tirage au sort a désigné un client de la formule « aventure » ; S : le tirage au sort a désigné un client satisfait.

1. Construire un arbre de probabilités associé à cette expérience.

2. Déterminer p SA

 

, ^{p S}^A

 

^et^{P S}^H

^{ }

^.

3. Définir par une phrase l’évènement : _{A S}_ . Calculer^{p A S}



^



^.

(2)

4. Montrer que la probabilité que le client désigné par le tirage au sort soit un client insatisfait est 0,22.

5. Calculer la probabilité que le tirage au sort ait désigné, parmi les insatisfaits, un client de la formule « aventure » et exprimer le résultat à 10−2 près.

Une épidémie frappe les 10 000 habitants d’une petite île isolée. Un organisme de secours international organise l’envoi sur place d’une aide médicale d’urgence : il s’agira de petites unités médicales de deux types accompagnées d’un personnel médical.

Cette nuit même, on embarquera sauveteurs et matériels à bord du premier vol régulier à destination de l’aéroport international le plus proche de l’île. Là–bas, il restera à décharger et à acheminer le matériel vers l’île sinistrée.

Les deux types d’unités médicales se composent comme suit :

– Un type classique appelé type A, qui nécessite 1 000 kg de matériel et qui requiert la présence de trois médecins.

– Un nouveau type d’unité, appelé type B, qui ne nécessite que 500 kg de matériel et la présence d’un seul médecin.

Le modèle A peut traiter 900 malades tandis que le modèle B ne peut traiter que 400 malades.

La compagnie aérienne qui se charge du transport des médecins et du matériel ne dispose que de 22 places disponibles et ne peut embarquer, au plus que 8 tonnes, soit 8 000 kg, de matériel.

On note x le nombre d’unités de type A et y le nombre d’unités de type B qui seront envoyées sur place.

1. Montrer que les contraintes peuvent se traduire sous la forme du système ci-dessous 0

0

3 22

2 16

x y

y x

 

 

   

   



2. Sur une feuille de papier millimétré à rendre avec la copie, représenter dans un repère orthonormal d’unité 1 cm, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient le système ci-dessus.

3. a. Exprimer en fonction de x et y le nombre N de malades qui pourront être traités par les équipes de secours.

b. Tracer sur le graphique la droite (D) correspondant à 4 000 malades traités.

4. a. Expliquer comment déterminer x et y pour que N soit maximum.

b. Déterminer par lecture graphique les valeurs de x et y qui correspondent à ce maximum.

5. Conclure en donnant le nombre d’unités de chaque type qu’il faut mobiliser et le nombre maximal de malades qui peuvent être traités.

(3)

La courbeCf ci-dessus représente, dans un repère orthonormal



^{O i j}^{; ;}^{ }



une fonction f définie sur R. La droite D est tangente à la courbe Cf au point A de coordonnées (0 ; 3) et passe par le point B de coordonnées (3 ; 0).

( T )

2 3 4

-1 -2

2 3

-1

-2

0 1

1

x y

1. Par lecture graphique : a. Déterminer le nombre f (0).

b. Déterminer le nombre f ′(0) où f ′ est la fonction dérivée de f .

2. On admet que la fonction f est définie sur R par ^{f x}^{( )}^



²^x^³



^e^^x^.

a. Est-ce que le point E de coordonnées (7 ; 0) est sur la courbe Cf ? b. Démontrer que pour tout nombre réel x on a ^{f x}^{'( )}^{  }



²^x ¹



^e^^x^.

c. Etudier le signe de f ′(x).

d. Dresser le tableau de variations de la fonction f .

(4)

Corrigé Exercice 1

A

1. Le chiffre d’affaires d’une entreprise est de 50 000 en 2008 ( ^C₂₀₀₈^⁵⁰⁰⁰⁰ ). Le chiffre d’affaires a baissé de 9 % par rapport à 2005, donc on a : C₂₀₀₅^^9% C₂₀₀₈

C2008 (1, 0,09) C2005 0,91C2005 . il s’ensuit 2005

50000

54945

C  0,91  . Le chiffre d’affaires en 2005 était, en euro est la réponse : 54945 €. .

2. Le taux global du chiffre d’affaires entre 2005 et 2008 est tg  ^9% ^0,09. Soit _am le taux d’évolution annuel moyen du chiffre d’affaires entre 2005 et 2008 ²⁰⁰⁵ âm ²⁰⁰⁶ âm ²⁰⁰⁷ âm ²⁰⁰⁸

tg

  

  

 et on a :



¹_am



³   ¹ t_g 1 0,09 0,91 , soit ¹am 



^0,91



^{1/ 3} ^0,969, soit ^0,97arrondi à 10^²près. Donc _am ^{0,97 1}  ^0,03, soit 3%. B

3. Au bout de trois ans le salaire annuel, euros , arrondi à l’euros est : ^{15240 1}

 

³ ¹⁵²⁴⁰ ¹ ^0,7 ³ 15240 1,007

 

³ 15562

a 100

t  

        

  .

C

4. En utilisant la calculatrice , les coordonnées du point moyen G sont : ^x_G ^⁹ et ^y_G ^^{16, 4} On peut les calculer directement sans aucune difficultés .

5. En utilisant de même la calculatrice , une équation de la droite de la régression de ^yen ^xpar la méthode des moindres carrés est : ^y^{ }^{2, 4}^x^³⁸

Exercice 2 1. &2.

60% des clients ont choisi la formule « HÖTEL »et 40%ont choisi la formule « AVENTURE ».

Il s’ensuit que :

 

⁶⁰ ^0,6

p H 100 et

 

⁴⁰ ^{0, 4}

p A 100 .

De même 70% ont exprimé être satisfait sachant qu’ils ont opté la formule « HÖTEL » Donc pH

 

S ^0,7et ^p^H

 

^S ^{ }¹ ^p^H

^{ }

^S ^{ }^{1 0,7 0,3}^ ( événements disjoints ).

Parmi les clients qui ont opté la formule « AVENTURE », ils sont 90%à être satisfaits.

Donc p SA

 

^0,9 et ^{p S}^A

 

^{ }¹ ^{p S}^A

^{ }

^{ }^{1 0,9 0,1}^

D’où l’arbre pondéré :

3. l’événement _{A S}_ est l’événement « le tirage au sort a désigné un client de la formule AVENTURE insatisfait » en appliquant la formule de probabilité conditionnelle on a : p A S







 p S_A

 

p A

^{ }

0,1 0, 4 0,04  . 4. A et H forment une partition disjointes de l’univers ,

H

A

S

S 0,6 S

0,4

0,7

0,3

0,9

0,1

(5)

D’après la formule des probabilités totales on a : ^S ^



^H^^S

 

^ ^{A S}^



^.d’où

     

_H

  ^{ }

_A

  ^{ }

0,3 06 0,04 0,18 0,04 0, 22

p S  p HS  p A S  p S p H  p S p A       .

5. La probabilité que le tirage au sort ait désigné , parmi les insatisfaits , un client de la formule « aventure » est égale à : ^p_S

 

^A . d’après la formule de probabilité conditionnelle , on a :

   

 

^0,04 ² 0,1818 0,18

0, 22 11

S

p A S

p A

p S

      arrondie à ₁₀^²près.

Exercice 3

1. Soit ^x le nombre d’unités de Type A et on a : x0 , ^yle nombre d’unités de Type B et on a : ^y^⁰ La compagnie aérienne ne dispose que 22 places disponibles et une unité de type A requiert la présence De 3 médecins contre 1 pour celle de type B.

Soit : ³^{x y}^{ }²² ou encore : ^y^{  }³^x ²².

La compagnie aérienne peut embarquer au plus 8000 kg de matériel et une unité de type A nécessite 1000 kg de matériel contre 500 kg pour celle de type B , soit¹⁰⁰⁰^x^⁵⁰⁰^y^⁸⁰⁰⁰ ou encore :

^y^{  }²^x ¹⁶ .

Les contraintes peuvent se traduire sous la forme du système ci-contre :

0 0

3 22

2 16

x et y

y x

 

   

   



. 2. Voir le graphique ci-dessous .

D1 : ³^{x y}^{ }²²

D2 : ^y^{  }²^x ¹⁶

3. a. le modèle A peut traiter 900 malades tandis que le modèle B ne peut traiter que 400 malades donc Soit N le nombre N de malades qui pourront être traités par les équipes de secours.

Donc ^N ^⁹⁰⁰^x^⁴⁰⁰^y.

b. N 4000 correspond à ⁹⁰⁰^x^⁴⁰⁰^y^⁴⁰⁰⁰, soit ⁹^x^⁴^y^⁴⁰ et ^y^{ }^{2, 25}^x^¹⁰

4. 900 400 2, 25

400 N  x y  y x N .

Cette équation correspond à l’équation d’une droite parallèle à (D) .

En traçant des droites parallèles à (D) jusqu’à avoir celle ayant l’ordonnée à l’origine la plus grande possible qui passe par un point des coordonnées entières de la zone solution .

b. à l’aide du graphique on trouve le point de coordonnées



^{6; 4)}



.

5. pour soigner le maximum de malades il faudra 6 unités de type A et 4 unités de type B.

On pourra soigner au maximum N_max  6 900 4 400 7000   malades.

La droite  passant par le point I a pour équation ^y^{ }^{2, 25}^x^^17,5

x 0 4 7

y 22 10 1

x 0 8

y 16 0

x 0 4

y 10 1

(6)

D7000

D4000

S

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0 1

1

x y

I

(7)

Exercice 4 :

On lit sur le graphique :

a. La courbe coupe l’axe des ordonnées en un point d’ordonnée 3 , donc on a : ^f^{(0) 3}^ . b. la tangente à la courbe © passe par les point^A



^{0 ;3}



et ^B



^{3 ;0}



et 0 3

3 0 1 a   

 , donc

le coefficient directeur de la tangente est égal au nombre dérivé ^f ^'(0), donc ^f ^'(0)^{ }¹ on peut aussi lire directement le coefficient sur le graphique .

2.

a. ^f⁽⁷⁾^{  }



^{2 7 3}



ê^⁷ ^¹⁷ê^⁷ ^⁰, donc le point Ê



^{7 ;0}



b. La fonction f est dérivable sur et on a :^{f x}^{( )}est de la forme : ^{f x}^{( )}^^{u x}^{( )}^^{v x}^{( )} , donc

^{f x}^{'( )}^^{u x}^{'( )}^^{v x}^{( )}^^{u x}^{( )}^^{v x}^{'( )}, avec ^{u x}^{( ) 2}^ ^x^³ , donc ^{u x}^{'( ) 2}^ et v x( )e^^x, v x'( ) e^^x En appliquant la formule ci-dessus on a : ^{f x}^{'( ) 2}^ ^e^^x^



²^x^³



^e^^x ^



^{2 2}^ ^x^³



^e^^x^{  }



²^x ¹



^e^^x.

c. On sait que _e^^x _₀, donc 1

'( ) 0 2 1 0

f x        x x 2.

et 1

2 1 0 2 1

x x x 2

         : d’où le tableau de signe de ^{f x}^{'( )} x  1/ 2 

'( )

f x + 0 ^ d.

x  1/ 2 

'( )

f x + 0 ^ ( )

f x 2e^{1/ 2}2 e Conclusion :

Sur l’intervalle ^]^{  }^{; 1/ 2[} : ^{f x}^{'( ) 0}^ donc la fonction ^f est strictement croissante sur cet intervalle . Sur l’intervalle ^^{1/ 2 ;}^^[ : ^{f x}^{'( ) 0}^ donc la fonction ^f est strictement décroissante sur cet intervalle .

1

1/ 2 1/ 2

1 1 2

2 3 ( 1 3) 2 2

2 2

f e e e e

 

  

 

          

   

    . ( puisque a^{1/ 2} a ).