D.Pinel, http://mathemitec.free.fr/
Pour l’énoncé, voir sur le site de l’APMEP
Corrigé Bac France 2009
Exercice 1.
1. La probabilité que la favori gagne le premier match est de 0.9 donc la probabilité qu’il le perde est de 0.1 : réponse b.
2. En notant Gn l’événement le favori gagne le nième match, on a p G( 1∩G2)= p G( ) ( )1 ×p G2 par indépendance, soit 0.9² = 0.81 : réponse b.
3. De même, pG1( )G2 = p G( )2 par indépendance, soit 0.9 : réponse c.
4. Soit A l’événement ne joue qu’un (donc il perd) ou deux matchs (donc il a gagné le premier et perdu le second).
On a p A( )= p G
( ) (
1 +p G1∩G2) ( )
= p G1 +p G( )1 ×p G( )
2 =0.1 0.9 0.1+ × =0.19 : réponse a.Exercice 2.
1a. Une équation de la droite des moindres carrés est : y= −0.076x+49.274.
Remarquons que l’équation de droite fournit dans l’énoncé est cohérente avec ce dernier résultat.
1b. Voir graphique : D passe par les points de coordonnées (0 ;49.2) et (20 ;47.6).
1c. 2008 correspond à x = 28, et on a y= −0.08 28× +49.2=46.96. En 2008, suivant cette estimation, le record du 100 mètres serait de 46.96 secondes.
2a. Entre 1981 et 2001, le parcourt des 100m a évolué de 47.84 49.36
3.08%
49.36
t= − ≈ − (soit une baisse).
2b. Vérifions le calcul du taux moyen annuel : (1 )19 1 3.08 0.9692191 1 0.164%
m 100 m
t t
+ = − ⇔ = − ≈ − .
2c. Suivant ce modèle, le record du monde en 2008 serait de
0,164 8
47,84 1 47, 22
100
× − ≈
secondes.
3. Le record a été en réalité de 47,05 secondes soit un écart de 9
centièmes avec la première méthode et de 17 centièmes avec la seconde.
C’est donc la première qui a donné la meilleure approximation.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 -1
-2 46,7 46,8 46,9 47 47,1 47,2 47,3 47,4 47,5 47,6 47,7 47,8 47,9 48 48,1 48,2 48,3 48,4 48,5 48,6 48,7 48,8 48,9 49 49,1 49,2
46,40 1 46,5 46,6
x y
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Exercice 3.
A1. Dans la cellule B3, on peut entrer la formule « =B2 1.035× » qui correspond à une aumentation de 3.5%.
A2. Dans la cellule C3, on peut entrer la formule « =B2 1.02 170× + ».
B1a. Pour passer d’un terme au suivant on multiplie toujours par 1.035 : la suite est donc arithmétique de raison 1.035.
B1b. Comme b0 =10 000, on a bn =10 000 1.035× n.
B1c. On en déduit que b10 =10 000 1.035× 10≈14105, 99 cad que le capital au bout de l’année 10 est donc de 14105,99€ environ
B2a. D’après la formule proposée par la banque C, c2 =1, 02 10370 170× + ≈10747.4.
B2b. D’après le tableau c9 =13609.21 donc c10=1, 02× +c9 170≈14051,39 : le capital au bout de l’année 10 est donc de 14051,39€ environ
3. L’investisseur devrait choisir la banque B, il en dégagera un bénéfice de 54.6€.
Exercice 4.
1. Le capital au bout de 3 ans sera de 800 1.045× 3 ≈912.93.
2a. Soit f x( )=800 1.045× x=800×exln 1.045( ) : comme
(
xln 1.045 '( ))
=ln 1.045( ), d’apèrs la formule rappelée on a( )
ln 1.045
'( ) 800 ln(1.045) x 800 ln(1.045) 1.045x
f x = × ×e = × .
2b. Vu que 800ln(1.045) > 0, vu que 1.045x =exln 1.045( ) est une exponentielle donc est positif on en déduit que f’(x) > 0 sur son domaine et donc que f est une fonction croissante sur son domaine (ce que confirme la lecture graphique).
3a. D’après le graphique, au bout de 4 ans et demi (x = 4.5) son capital sera d’environ 975€.
3b. Pour doubler son capital initial de 800€, Thomas devra attendre environ 15,6 ans soit 16 ans si les intérêts sont distribués en fin d’année.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
-1 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800
0 1
800 900
x y
