BAC -STG-MERCATIQUE-CFE-GSI-PONDICHERY-AVRIL-2010 AVEC CORRECTION

(1)

Baccalauréat STG Mercatique Pondichéry- 21 avril 2010

La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de

la rédaction dans l’appréciation des copies.

EXERCICE 1 6 points

Deux tableaux sont donnés en annexe : le premier donne l’évolution du prix du mètre carré dans

l’immobilier résidentiel ancien en France de 1996 à 2009, le second donne les propositions de salaires d’une agence immobilière.

Partie A

On étudie l’évolution du marché immobilier résidentiel ancien en France entre 1996 et 2009.

Les résultats sont répertoriés dans le tableau 1.

1. Calculer le prix du mètre carré en 2009, sachant qu’il a subi une baisse de 14 % par rapport à 2008.

Arrondir le résultat à l’euro près.

2. Le taux d’évolution de 1996 à 1997 est de + 2%. Calculer le prix du mètre carré en 1996.

3. Calculer le taux global d’évolution, arrondi à 0,1 % près, de ce prix entre 1997 et 2007.

4. Calculer le taux moyen annuel d’évolution du prix du mètre carré entre 1997 et 2007, arrondi à 0,1 % près.

Partie B

Une agence immobilière propose à ses agents 2 types de rémunérations mensuelles différents.

• Proposition B : le salaire fixe s’élève à 1 700€ et chaque vente rapporte 300 €.

• Proposition C : le salaire fixe s’élève à 1 700 € et chaque vente permet une augmentation de salaire de 15 %.

Le tableau 2 est un extrait d’une feuille d’un tableur qui donne les salaires des deux propositions en fonction du nombre de ventes réalisées.

On note Bn le salaire obtenu avec la proposition B et Cnle salaire obtenu avec la proposition C pour n ventes réalisées.

1. Justifier que B12000 et que C11955.

2. DéterminerBnen fonction de n. Quelle est la nature de la suite (Bn) ? 3. Donner une relation entre Cn_1. Quelle est la nature de la suite (Cn) ? En déduire l’expression deCnen fonction de n.

4. a. Préciser la formule à écrire dans la cellule B3 puis à recopier vers le bas pour obtenir les différents salaires avec la proposition B.

b. Donner de même la formule à écrire dans la cellule C3 puis à recopier vers le bas pour obtenir les différents salaires avec la proposition C.

Une agence de voyage effectue un sondage auprès de ses clients.

Elle répertorie ses clients en 2 catégories : les groupes et les personnes seules.

Elle les interroge sur leur destination de vacances.

Sur 100 clients interrogés, 63 partent en groupe, et parmi ceux-là, 55 % partent en France.

De plus, 75 % des personnes seules partent à l’étranger.

On choisit au hasard un client de l’agence parmi ceux qui ont été interrogés ; on admet que tous les clients interrogés ont la même probabilité d’être choisis.

On note :

G l’évènement : « le client choisi part en groupe »,

G l’évènement contraire de G : « le client choisi part seul », E l’évènement : « le client choisi part à l’étranger »,

_E l’évènement contraire de E : « le client choisi part en France ».

1. Donner la probabilité de l’évènement _E sachant que G est réalisé, notée ^p^G

 

^E , puis la probabilité ^p_G

 

^E de l’évènement E sachant que _G est réalisé.

2. Construire puis compléter l’arbre de probabilité correspondant à cette situation.

(2)

3. Calculer la probabilité ^{p G}



^^E



de l’évènement GE.

4. Montrer que la probabilité ^{p E}

 

de l’évènement E est égale à ^0,561.

5. Calculer p GE

 

, la probabilité de choisir un client qui part en groupe, sachant qu’il part à l’étranger.

Donner la réponse arrondie au millième.

EXERCICE 3 5 points Partie A

Sur la figure donnée en annexe, on a tracé, dans un repère, trois droites dont les équations sont : ^{x y}^{ }⁷, ^x^²^y^¹² et ³^x^²^y^²⁰.

1. Parmi les équations données ci-dessus, laquelle est une équation de la droite

 

D1 ? Laquelle est une équation de la droite

 

D2 ?

2. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection des droites

 

D1 et

 

D2

3. Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l’ensemble des points

M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient le système :

0 0

2 12

: 3 2 20

7

x et y

x y

S x y

x y

 

  

  

  

 Partie B

Un entrepreneur doit effectuer des travaux de peinture et d’électricité sur un chantier.

Les travaux de peinture nécessitent par jour et par peintre 50 € de matériel et 150 € de main d’œuvre . Les travaux d’électricité nécessitent par jour et par électricien 100 € de matériel et 100 €de main d’œuvre.

D’autre part, chaque ouvrier doit disposer d’une camionnette et l’entrepreneur en possède 7.

L’entrepreneur dispose par jour d’un budget de 600 € pour le matériel et de 1 000 € pour la main d’œuvre.

On note x le nombre de peintres embauchés par jour et y le nombre d’électriciens embauchés par jour.

1. Montrer que les contraintes de cet entrepreneur se traduisent par le système d’inéquations (S) de la partie A, où x et y sont des entiers naturels.

2. L’entrepreneur peut-il faire travailler 1 peintre et 6 électriciens le même jour ?

3. L’entrepreneur réalise par jour un bénéfice de 30 € sur le travail de chaque peintre et de 40 € sur celui de chaque électricien. On note B le bénéfice total que l’entrepreneur réalise par jour.

a. Exprimer B en fonction de x et y.

b. Déterminer une équation de la droite () correspondant à un bénéfice de 120 €et tracer cette droite dans le repère précédent.

c. Déterminer graphiquement le nombre de peintres et d’électriciens que cet entrepreneur doit faire travailler chaque jour pour réaliser un bénéfice maximum. Calculer ce bénéfice maximal.

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ^{[ 0,5;5]}^ par f x( )x²9x14 ln(x1). Dans le repère ci-dessous, la courbe Cf est sa courbe représentative.

On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle ^{[ 0,5;5]}^ et on note f ′ sa fonction dérivée.

Partie A

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes : 1. Déterminer ^f⁽⁰⁾ et ^f ^'(0).

2. Donner le nombre de solutions de l’équation : ^{f x}^{( ) 1,5}^ . Partie B

1. Calculer ^{f x}^{'( )}.

2. Vérifier que (2 5)( 1)

'( ) 1

x x

f x x

 

  .

3. En remarquant que (x +1) est strictement positif sur l’intervalle ^{[ 0,5;5]}^ , et à l’aide d’un tableau de signes déterminer le signe de ^{f x}^{'( )}puis les variations de f sur ce même intervalle.

4. Déterminer l’équation réduite de la tangente (T) à la courbe représentative de f au point d’abscisse 0.

(3)

T

C

_f

2 3 4 5

-1

2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

0 1

1

x y

(4)

ANNEXE À rendre avec la copie Exercice n°1

Tableau 1 Tableau n°2

Évolution des prix de l’immobilier Salaires (en euros) en fonction Année Prix du mètre carré (en euros) du nombre de ventes

Exercice 3

(D1)

(D2)

(D3)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 1

1

x y

EXERCICE 1 6 points Partie A

On étudie l’évolution du marché immobilier résidentiel ancien en France entre 1996 et 2009.

Année Prix du mètre carré (en euros)

Taux d’évolution entre Deux années successives (arrondi à 0,1 %).

1996 ……….. ………….

1997 1400 + 2,0 %

1998 1601 + 4,0 %

1999 1601 + 10,0 %

2000 1749 + 9,2 %

2001 1915 + 9 ,5 %

2002 2145 + 12,0 %

2003 2445 + 14,0 %

2004 2812 + 15,0 %

2005 3093 + 10,0 %

2006 3279 + 6,0 %

2007 3361 + 2,5 %

2008 3028  9 ,9 %

2009 …………  14,0 %

A B C

1 ⁿ B_n C_n

2 0 1700 1700 ,00

3 1 2000 1955,00

4 2 2300 2248,25

5 3 2600 2585,49

6 4 2900 2973,31

7 5 3200 3419,31

8 6 3500 3932,20

9 7 3800 4522,03

(5)

Les résultats sont répertoriés dans le tableau 1.

1. Calculer le prix du mètre carré en 2009, sachant qu’il a subi une baisse de 14 % par rapport à 2008.

2008 2009 ²⁰⁰⁹ ²⁰⁰⁹ ²⁰⁰⁹ ²⁰⁰⁹ 2009

2008 2008 2008

1 1 0,14 0,86 0,86 3028 2604

3028

v v v v

t v

v v v

            

le prix du mètre carré en 2009 arrondie à l’euro près est 2604€

2. Le taux d’évolution de 1996 à 1997 est de + 2%. Calculer le prix du mètre carré en 1996.

1996 1997 ¹⁹⁹⁷ 1996

1996 1996 1996 1996

1400 1400 1400 1400

1 1 0,02 1,02 1372,55

1,02

t v v

v v v v

           

le prix du mètre carré en 1996 arrondie à l’euro près est 1373€

3. Calculer le taux global d’évolution, arrondi à 0,1 % près, de ce prix entre 1997 et 2007.

₁₉₉₇_¹^^t^g_₂₀₀₇, Entre 1997 et 2007, le taux global d’évolution est . ¹ ³³⁶¹ ^2,400714 2,400714 1 1, 400714

g 1400 g

t t

       , soit tg ^140,1% valeur arrondie au dixième.

On pourra calculer directement le taux global d’évolution en calculant :

¹⁰⁰ ^{3361 1400} 100 140,0714

1400

f i

g i

v v

t v

 

     .

Une troisième méthode consiste à calculer le produit :

¹ t_g 1,04 1,1 1,092 1,095 1,12 1,14 1,15 1,1 1,06 1,025 2,4005232          ; t_g 2,4005232 1 1,40052  . 4. Calculer le taux moyen annuel d’évolution du prix du mètre carré entre 1997 et 2007, arrondi à 0,1 % près.

Soit ^t_amle taux annuel moyen ( en % ) .

¹⁹⁹⁷ ¹₁ ¹⁹⁹⁸ ¹₁ ¹⁹⁹⁹ ¹₁ ²⁰⁰⁰ ¹ ²⁰⁰¹ ¹ ²⁰⁰² ¹ ²⁰⁰³ ¹ ²⁰⁰⁴

2004 2005 2006 2007

am am am am am am am

am am am

t t t t t t t

t t t

      

  

      

   .

Pour trouver la hausse moyenne annuelle t, on doit donc résoudre ⁽¹tam⁾¹⁰  ¹ tg ^2,4007tam



^2,4007



^1/10 ^{1 0,0915}.

au dixième près la hausse moyenne annuelle tam est 9,15 % . Partie B

Une agence immobilière propose à ses agents 2 types de rémunérations mensuelles différents.

• Proposition B : le salaire fixe s’élève à 1 700€ et chaque vente rapporte 300 €.

• Proposition C : le salaire fixe s’élève à 1 700 € et chaque vente permet une augmentation de salaire de 15 %.

Le tableau 2 est un extrait d’une feuille d’un tableur qui donne les salaires des deux propositions en fonction du nombre de ventes réalisées.

On note Bn le salaire obtenu avec la proposition B et Cnle salaire obtenu avec la proposition C pour n ventes réalisées.

1. Justifier que B12000 et que C11955.

On note B1 le salaire obtenu avec la proposition B et C1le salaire obtenu avec la proposition C pour une vente réalisée. le salaire fixe s’élève à 1 700€ et chaque vente rapporte 300 €.donc

le salaire B11700 300 2000€  et le salaire ₁ 15

1700 1700 1700 255 1955

C   100   .

2. DéterminerBnen fonction de n. Quelle est la nature de la suite (Bn) ?

Pour n1 ventes réalisées, on a B_n_₁B_n300B_n_₁600 ... B₀300(n1) et on a :

B_n_1B_n ...B2B1B1B0 300et par conséquent la suite (Bn) est arithmétique de premier terme B0 1700 et de raison a300 et enfin Bn ^{1700 300} n.

3. Donner une relation entre Cn_1 et Cn. Quelle est la nature de la suite (Cn) ? En déduire l’expression deCnen fonction de n.

(6)

₁ 15

(1 0,15) 1,15

n n 100 n n n

C _ C  C C   C , donc on déduit que la suite (Cn) est de la forme

Cn_1qCn et par conséquent la suite (Cn) est géométrique de premier terme C0 1700 et de raison ^q^^1,15 et enfin C_n C0



1,15



ⁿ.

4. a. Préciser la formule à écrire dans la cellule B3 puis à recopier vers le bas pour obtenir les différents salaires avec la proposition B.

En cellule B3, la formule à rentrer est la suivante : « B₂300 ».

b. Donner de même la formule à écrire dans la cellule C3 puis à recopier vers le bas pour obtenir les différents salaires avec la proposition C.

En cellule C3, la formule à rentrer est la suivante : « C2* 1,15

 

».

EXERCICE 2 4 points On note :

G l’évènement : « le client choisi part en groupe »,

_G l’évènement contraire de G : « le client choisi part seul », E l’évènement : « le client choisi part à l’étranger »,

_E l’évènement contraire de E : « le client choisi part en France ».

1. Donner la probabilité de l’évènement _E sachant que G est réalisé, notée ^p^G

 

^E , puis la probabilité ^p_G

 

^E de l’évènement E sachant que _G est réalisé.

L’évènement _E sachant que G est réalisé signifie : le client choisi part en France sachant qu’il part en Groupe, or sur 100 clients interrogés, 63 partent en groupe, et parmi ceux-là, 55 % partent en France donc ^p^G

 

^E ^^0,55. 75 % des personnes seules partent à l’étranger, donc ^p_G

 

^E ^^0,75

2. Construire puis compléter l’arbre de probabilité correspondant à cette situation.

sur 100 clients interrogés, 63 partent en groupe ,donc 63% des clients partent en groupe alors, ^{P G}^{( ) 0,63}^ etP G( ) 1 P G( ) 1 0,63 0,37  

63 partent en groupe, et parmi ceux-là, 55 % partent en France.

De plus, 75 % des personnes seules partent à l’étranger.

P E_G( ) 0,55 et P E_G( ) 1 P E_G( ) 1 0,55 0, 45   . De plus, 75 % des personnes seules partent à l’étranger ^{P E}_G^{( ) 0,75}^ et P E_G( ) 1 P E_G( ) 1 0,75 0, 25   . 3. Calculer la probabilité ^{p G}



^^E



de l’évènement GE.

P G⁽ E⁾P G^{( )}P E_G( ) 0, 63 0, 45 0, 2835   ; P G( E)P G( )P E_G( ) 0, 63 0,55 0,3465   P G( E)P G( )P E_G( ) 0,37 0, 75 0, 2775   ; P G( E)P G( )P E_G( ) 0,37 0, 25 0, 0925   4. Montrer que la probabilité ^{p E}

 

de l’évènement E est égale à 0,561.

Get _G forment une partition de l'univers, donc ^E^



^G^^E



^



^G^^E



est l’union des deux événements disjoints alors , d'après la formule des probabilités totales on a :

P E( )P G( E)P G( E) 0, 2835 0, 2775 0,561   .

Ainsi, la probabilité qu’un appareil fabriqué soit mis en vente après contrôle est ^{P E}^{( ) 0,561}^ .

5. Calculer p GE

 

, la probabilité de choisir un client qui part en groupe, sachant qu’il part à l’étranger.

Donner la réponse arrondie au millième.

G

E

E E 0,63 E

0,45

0,37

0,55 0,75 0,25

(7)

La probabilité conditionnelle de G sachant que Eest réalisé est :

( ) 0, 2835 189

( ) 0,505

( ) 0,561 374

E

P G E

P G P E

     . La valeur décimale arrondie au centième de P G_E( ) 0,505 .

Exercice 3 Partie A

Sur la figure donnée en annexe, on a tracé, dans un repère, trois droites dont les équations sont : ^{x y}^{ }⁷, ^x^²^y^¹² et ³^x^²^y^²⁰.

1. Parmi les équations données ci-dessus, laquelle est une équation de la droite

 

D1 ? Laquelle est une équation de la droite

 

D2 ?

une équation de la droite

 

D1 est ³^x^²^y^²⁰. En effet : Pour x0, on a ^y^¹⁰ et pour x4, on a ^y^⁴.

une équation de la droite

 

D2 est ^{x y}^{ }⁷. En effet : Pour x0, on a ^y^⁷ et pour x0, on a ^y^⁷. une équation de la droite

 

D3 est ^x^²^y^¹². En effet : Pour x0, on a ^y^⁶ et pour x6, on a ^y^³ 2. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection des droites

 

D1 et

 

D2

³ ² ²⁰ ³ ^{2 7}

 

²⁰ ^{20 14 6}

7 7 7 6 1

x x

x y x

x y y x y

  



    

  

         

   .donc

   

D1  D2 



I



6 ;1

 

3. Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l’ensemble des points

M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient le système :

0 0

2 12

: 3 2 20

7

x et y

x y

S x y

x y

 

  

  

  



(D2) (D1)

(D3)

D120 D260

D220

S

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1

0 1

1

x y

M

Partie B.

(8)

Quantités Matériels main d’œuvre Camionnette bénéfices

Peinture ^x 50 150 1 30

Electricité ^y 100 100 1 40

Conditions xNet yN 600 1000 7 B

Le système d’inéquations traduisant les contraintes du problème est :

50 100 600 2 12

150 100 1000 3 2 20

: :

7 7

0 0 0 0

x y x y

S S

x y x y

x et y x et y

   

 

     

  

     

 

     

 

Représentation graphique :

Les contraintes sont représentées par l’intérieur du polygone limité par les axes de coordonnées et les droites d’équations ^x^²^y^¹², ³^x^²^y^²⁰et^{x y}^{ }⁷, frontières incluses (zone non hachurée )).

2. Pour x = 1 et y = 6, on obtient :.

^x^²^y^¹²^{ }^{1 12 12}^ donc la contrainte des matériels n’est pas satisfaite.

³x²y²⁰   3 2 6 15 20 . Donc la contrainte des main d’œuvres est satisfaite ^{x y}^{    }⁷ ^{1 6 7}. Donc la contrainte des camionnettes est satisfaite

Donc le stock de matériels n’est pas totalement écoulé.

3. a)^{B x y}



^;



^³⁰^x^⁴⁰^y.

b) D120 : ³⁰^x^⁴⁰^y^¹²⁰, soitD120 : ³^x^⁴^y^¹², ou sous forme réduiteD120: 3 4 3 y  x

c) On trace la droite parallèle à ^DMax, d’ordonnée à l’origine maximale et coupant la région non hachurée.

À l’aide du graphique, on trouve le point de coordonnées ( 2 ; 5).

Pour que le chiffre d’affaires soit maximal, il faut 2 peintre et 5 électriciens.

Ce chiffre d’affaires est alors égal à B_Max 30 2 40 5 260€    . Exercice 4

Partie A

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes : 1. Déterminer ^f⁽⁰⁾ et ^f ^'(0).

^f^{(0) 0}^ et ^f ^{'(0) 5}^ , puisque ^f ^'(0) est le coefficient directeur de la tangente en x0 à la courbeCf

2. Donner le nombre de solutions de l’équation : ^{f x}^{( ) 1,5}^ .

On construit la droite d’équation ^y^^1,5 dans le repère et on constate que la droite coupe la courbeCf en trois points d’abscisses respectives  ^; ^et ( voir figure ci-dessous).

Partie B

1. Calculer ^{f x}^{'( )}.

La fonction f définie sur l’intervalle ^{[ 0,5;5]}^ par f x( )x²9x14 ln(x1)est dérivable et on a :

2 2

14 (2 9)( 1) 14 2 2 9 9 14 2 7 5

'( ) 2 9 '( )

1 1 1 1

x x x x x x x

f x x donc f x

x x x x

        

     

   

2. (2 5)( 1) 2 ² 2 5 5 2 ² 7 5

'( ) '( )

1 1 1

x x x x x x x

f x f x

x x x

      

   

   .

3. En remarquant que (x +1) est strictement positif sur l’intervalle ^{[ 0,5;5]}^ , et à l’aide d’un tableau de signes déterminer le signe de ^{f x}^{'( )}puis les variations de ^f sur ce même intervalle.

x 0,5 1 ^2,5 5 1

x + + + 1

x ^ 0 + + 2x5 ^ ^ 0 +

'( )

f x + 0 ^ 0 + Tableau de variations

x 0,5 1 2,5 5

(9)

'( )

f x + 0 ^ 0 + variations de ^f

^1,7 ^5,1

4,95 ^1,3

La fonction ^f est croissante sur [ 0,5 ;1 ] [ 2,5 ;5 ]  et est décroissante sur ^{[ 1;5 ]}.

Elle admet un maximum en x1égale à f(1) 1  ² 9 14ln(1 1)   8 14 ln 2 1,70 et un minimum en ^x^^2,5 égale f(2,5) 2,5 ² 9 2,5 14 ln(2,5 1) 6, 25 22,5 14ln(3,5)      16, 25 14ln(3,5) 1, 29  4. Déterminer l’équation réduite de la tangente (T) à la courbe représentative de f au point d’abscisse 0.

L’équation de la tangente au point ^{A a f a}^{( ; ( ))} est de la forme ^y^ ^{f a x b}^{'( )} ^ Donc au point d’abscisse 0 : on a : 2 0² 7 0 5 5

'(0) 5

0 1 1

f       

 et

f(0) 0 ²  9 0 14ln(0 1) 14 ln1 0   

Donc l’équation de la tangente est ^y^ ^f ^'(0)^{x b}^{ }⁵^{x b}^ et ^y^⁵^{x b}^ , or la tangente passe par le point ^O^(0;0) qui donne b0, donc l’équation de la tangente ^T en ^O^(0;0) est ^y^⁵^x.

(10)

T

C

_f

  

y =1,5

2,5

2 3 4 5

-1

2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

0 1

1

x y