BAC-STG-CGRHI-FRANCE-SEPTEMBRE-2009-AVEC CORRECTION

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Baccalauréat STG GRH France - La Réunion-septembre 2009 EXERCICE 1 7 points

PARTIE A : Étude statistique préliminaire

Le tableau ci-dessous indique le prix de vente, en euros, d’une machine-outil et le nombre d’unités vendues de 2001 à 2006.

Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Prix en euros de la machine (^x_i ) 1900 2100 1400 2200 2400 2300 Nombre de machines vendues ( ^y_i ) 220 200 250 190 168 186 1. Représenter, sur papier millimétré, le nuage de points de coordonnées (xi ;yi) dans un repère orthogonal d’unités graphiques : 1 cm pour 100 (sur l’axe des abscisses, en démarrant la graduation à 1 200 et 1 cm pour 10 machines sur l’axe des ordonnées, en démarrant la graduation à 100.

2. a. À l’aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, l’équation de la droite de régression de y en x. On donnera les coefficients a et b obtenus dans l’équation de la droite ^{y a x b}^ ^ où a sera arrondi à 10⁻² près et b à l’unité près.

b. Construire la droite obtenue dans le repère de la question 1.

c. En utilisant la droite de régression, déterminer graphiquement ou par le calcul le nombre de machines que l’on peut espérer vendre lorsque le prix de vente d’une machine est fixé à 2800€.

PARTIE B : Étude approfondie à l’aide des fonctions

On note x le prix de vente unitaire d’une machine, x compris entre 1 200 et 3 000.

On suppose que le nombre y de machines vendues s’exprime sous la forme 364 0,08 x .

1. On appelle f x( )le montant total de la vente de y machines. On définit ainsi une fonction f dont on note la dérivée ^f ^'.Vérifier que : f x( ) 0,08x² 364x.

2. a. Calculer ^{f x}^{'( )} pour tout x de [1200;3000 ].

b. Étudier le signe de ^{f x}^{'( )}et en déduire le tableau de variations de f sur [1200;3000].

c. En déduire le prix de vente d’une machine pour que le montant total de la vente ^{f x}^{( )}soit maximal.

Quel sera alors le montant de la vente et le nombre de machines vendues ?.

EXERCICE 2 5 points

Quatre candidats A, B, C , D se présentent à une élection régionale.

Avant le scrutin, on a interrogé 1 000 personnes âgées de 18 à 90 ans s’étant prononcées sur leur intention de vote et ayant communiqué leur tranche d’âge.

On a obtenu le tableau de répartition suivant : Candidats des électeurs Âge

A B C D Total

[18;30[ 100 50 30 20 200

[30;50[ 150 50 20 80 300

[50;90][ 50 300 50 100 500

Total 300 400 100 200 1000

1. Quel est l’âge moyen des personnes interrogées qui ont l’intention de voter pour le candidat B?

On prendra les centres des classes d’âge pour effectuer le calcul.

2. On choisit une des 1 000 personnes interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d’être choisies. On mettra tous les résultats sous forme décimale.

a. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : J: « la personne choisie appartient à la tranche d’âge [18 ; 30[ ».

B: « la personne choisie a voté pour le candidat B».

b. Traduire par une phrase l’évènement JBet calculer sa probabilité.

3. a. Calculer la probabilité que la personne choisie n’ait pas voté pour le candidat B, sachant qu’elle est dans la tranche d’âge [18 ; 30[.

Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

b. Le résultat du calcul obtenu à la question 3.a. est-il cohérent avec celui qui a été obtenu à la question 1.?

(2)

EXERCICE 3 8 points

Une petite ville des Pyrénées décide de relancer sa station de ski, en faisant certains investissements et de la publicité. Le directeur fait des prévisions. À l’aide d’un tableur, il construit le tableau suivant, donnant pour chaque saison de ski :

• le prix du forfait « journée » ;

• le nombre de forfaits « journée » vendus ;

• la recette correspondante.

Pendant la saison 2006/2007, il a été vendu 18 540 forfaits « journée » au prix de 16 euros l’unité.

Le directeur de la station décide d’augmenter le prix du forfait de 1,20€ par an, jusqu’à la saison 2012/2013. Il obtient alors la suite des prix unitaires, en euros, notée (un) en colonne C sur la feuille de calcul proposée ci-dessous. On a donc u116.

A B C D E

1 Saison Rang Prix du « forfait journée » en euros

Nombre de forfaits vendus

Recette en euros

2 2006/2007 1 16 18540 296640

3 2007/2008 2 17,2 19003 326851,6

4 2008/2009 3

5 2009/2010 4

6 2010/2011 5

7 2011/2012 6

8 2012/2013 7

9 Total

1 0

PARTIE A : Étude de la suite (^u_n) des prix du forfait « journée » 1. Quelle est la nature de la suite (^u_n) ? Préciser sa raison.

2. Quelle est la formule à saisir en C3 et à recopier vers le bas pour compléter la colonne C?

3. Si on complétait le tableau jusqu’à la saison 2012/2013, quel serait le nombre obtenu dans la cellule C8 ? PARTIE B : Étude de la suite des nombres de forfaits « journée » vendus

1. Quel est, en pourcentage, le taux d’évolution du nombre de forfaits vendus entre les saisons 2006/2007 et 2007/2008 ? (on arrondira à 0,1 % près).

2. Le directeur de la station suppose que chaque saison le taux d’augmentation sera celui trouvé à la question précédente et obtient ainsi en colonne D la suite notée (vn) des nombres de forfaits vendus.

On a donc v118540.

a. Quelle est la formule à saisir en D4 et à recopier vers le bas pour compléter la colonne D?

b. Quel serait alors le nombre obtenu dans la cellule D8 ? PARTIE C : Étude de la recette

1. Quelle est la formule à saisir en E2 et à recopier vers le bas dans la plage E3 :E8 ? 2. Quelle formule peut-on saisir en E9 afin de calculer la recette totale des 7 saisons ?

(3)

Exercice1

PARTIE A : Étude statistique préliminaire

Le tableau ci-dessous indique le prix de vente, en euros, d’une machine-outil et le nombre d’unités vendues de 2001 à 2006.

Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Prix en euros de la machine (^x_i ) 1900 2100 1400 2200 2400 2300 Nombre de machines vendues ( ^y_i ) 220 200 250 190 168 186 1.



prix en € Nombre de machines

1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 120

130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250

1200 1400 100

110

x y

2.a. à l’aide de la calculatrice , on trouve l’équation de la droite d’ajustement de ^y en ^x par la méthode des moins carrés et on obtient : ^y^{ }^0,07893^x^^364,1449.( ^y^{ }^{0, 08}^x^³⁶⁴ : la valeur de a est arrondie à 0,01 et la valeur de b est arrondie à l’unité).

b. Voir le graphique .

c. Graphiquement on trouve que pour la valeur : ^x^²⁸⁰⁰, on obtient : ^y^¹⁴⁰.

Par le calcul ; on résout l’équation : ^0,08 ^{364 140} ^0,08 ^{140 364} ²²⁴ ²²⁴ ²⁸⁰⁰

x x x 0,08

           

Ou encor : y 0,08 2800 364   224 364 140  . Conclusion : On peut espérer vendre 140 machines avec un prix égal à 2800 €.

Partie B

On note x le prix de vente unitaire d’une machine, x compris entre 1 200 et 3 000.

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On suppose que le nombre y de machines vendues s’exprime sous la forme ^y^^{364 0,08}^ ^x . 1. On note x le prix de vente unitaire d’une machine, x compris entre 1 200 et 3 000.

On appelle ^{f x}^{( )}le montant total de la vente de y machines.

Vérifier que : ^{f x}^{( )}^{  }^{x y x}



^{364 0,08}^ ^x



^{ }^0,08^x²^³⁶⁴^x^.

2. pour tout réel x[1200;3000] : ^{f x}^{'( )}^{ }^{0,08 2}^ ^x^³⁶⁴^{ }^0,16^x^³⁶⁴.

b. 364

'( ) 0 0,16 364 0 2275

f x    x   x 0,16 . f⁽²⁷⁷⁵⁾ 0, 08 2775² 364 2275 414050    f⁽¹²⁰⁰⁾ 0,08 1200² 364 1200 321600    f⁽³⁰⁰⁰⁾ 0, 08 3000² 364 3000 372000    c. On déduit du tableau de variation que la fonction ^f

admet un maximum égal à 414050 pour un prix d’une machine égal x2275€.

Le nombre de machines vendues sera : y^{364 0, 08} x364 0, 08 2275 182   machines.

Exercice 2.

1. Tableau :

Candidats des électeurs Âge

A B C D Total Centre ^x_i

[18;30[ 100 50 30 20 200 24

[30;50[ 150 50 20 80 300 40

[50;90][ 50 300 50 100 500 70

Total 300 400 100 200 1000

24 50 40 50 70 300 24200

400 400 60,5

xB     

   . L’âge moyen des personnes interrogés qui ont

l’intention de voter pour le candidat B est ^60,5ans .

On pourra poser la même question pour les autres candidats et on a : 24 100 40 150 70 50 11900

39,67

300 300

xA     

   ans

24 30 40 20 70 50 5020

50, 2

100 100

xC         .ans . 24 20 40 80 70 100 10680

53, 4

200 200

xD         ans.

2.a. On noteJl’événement : « la personne choisie appartient à la tranche d’âge ^[18;30[ ».

D’après le tableau ci-dessus, il y a 200 personnes qui ont voté , appartiennent à la tranche d’âge ^[18;30[ sur un total de1000 personnes interrogés. Donc

 

²⁰⁰ ^{0, 2}

1000

J E

p J n

 N   .

On note B l’événement : « la personne choisie a voté pour le candidat B ».Il y a 400 personnes qui ont Voté pour le candidat B sur un total de1000 personnes interrogés. Donc

 

⁴⁰⁰ ^{0, 4}

1000

B E

p B n

 N   . b. On note _J__B l’événement : « la personne choisie appartient à la tranche d’âge ^[18;30[ et n’a pas voté pour le candidat B » donc n_{J B}_ 100 30 20 150   et

 

^{J B} ₁₀₀₀¹⁵⁰ ^0,15

E

p J B n N

     .

3.a. D’après le tableau ci-dessus , on compte 200 personnes dans la classe d’âge ^[18;30[.Parmi elles, 150 personnes n’ont pas voté pour le candidat B donc on applique la formule de probabilité conditionnelle On a :

   

 

^{0,15 15}^{0, 2} ²⁰ ³⁴

J

p J B

p B p J

     .

b. la question 3.a nous apprend que la moyenne d’âge des personnes ayant voté pour le candidat B est ^60,5ans, donc ce sont plutôt les personnes âgées qui votent pour lui.

La question 3.a montre que la probabilité pour qu’un jeune de moins de 30 ans n’est pas voté pour le candidat B. Par conséquent les calculs sont cohérents.

Exercice 3

x 1200 2275 3000 '( )

f x + 0 ^ ( )

f x ^f⁽²²⁷⁵⁾ (1200)

f ^f⁽³⁰⁰⁾

(5)

Partie A Étude de la suite (u_n) des prix du forfait « journée »

1. Le directeur de la station décide d’augmenter le prix du forfait de 1,20€ par an, donc pour passer de Forfait û_nau forfait û_n₁, on additionne 1,20€ et on a : û_n₁ û_n^{1, 2}.

Par conséquent la suite (û_n) est de la formeû_n₁û_n^r et par définition cette suite est donc arithmétique de raison ^r^^{1, 2}et de premier terme û₁^¹⁶.

2. La formule à écrire en C3 et par recopie vers le bas pour compléter la colonne C est : ^=C2+1,2. 3.la arithmétique de raison ^r^^{1, 2}et de premier terme ^u₁ ^¹⁶, donc

u_n    u₁ ⁽n 1) 1, 2 16 1, 2 1, 2   n14,8 1, 2 n et enfin : ^u_n ^^{14,8 1, 2}^ ⁿ.

La saison 2012/2013 correspond au rang 7 donc u₇ 14,8 1,2 7 14,8 8, 4 23, 2€     . Le nombre obtenu dans la cellule C8 serait 23,2.

PARTIE B : Étude de la suite des nombres de forfaits « journée » vendus

1. le taux d’évolution ,en pourcentage, du nombre de forfaits vendus entre les saisons 2006/2007

et 2007/2008 est 19003 18540 46300

100 100 2, 4973

18540 18540

f i

e i

v v

t v

 

      . Donc te ^2,5%

2.a.

 

vn est le nombre de forfaits vendus et on passe de vnà vn_1 en multipliant par ^1,025 . Donc ^v_n₁ ^1,025^v_n.

La formule à saisir en D4 et à recopier vers le bas pour compléter la colonne D est : ^=D3*1,025. b. ^v_n₁ ^1,025^v_n , ^v₁^¹⁸⁵⁴⁰ , donc v_n 



1,025



ⁿ^¹v1 , donc pour n7,

on a : v7 



1, 025



⁶18540 21500, 71 . Le nombre obtenu dans la cellule D8 serait 21500 € arrondi à l’unité.

PARTIE C : Étude de la recette

1. Il faut multiplier le nombre de forfait journée par le prix du forfait journée.

La formule à saisir en E2 et par recopie vers le bas dans la plage E3 :E8 est =C2*D2 2. Pour calculer la recette totale des 7 saisons , on saisit dans E9 : =somme(E2:E8)