Baccalauréat STG-Mercatique Pondichéry-12 avril 2007 Exercice 1 3 points
Cet exercice est un questionnaire a choix multiples (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées .Une seule des réponses proposées est exacte.
Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L’absence de réponse
apporte ni n’enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l’exercice est 0.
Vous reporterez sur votre copie la réponse correcte. Aucune justification n’est demandée.
1. Le nombre −3 est solution de l’équation :
a. lnx ln 3 b. ln( )ex 3 c. elnx 3 2. Soit f la fonction dérivable sur R définie par : f x( ) ( 2 x 1)ex .
Sa fonction dérivée f ′ est donnée par :
a. f x'( ) 2 ex b. f x'( ) ( 2 x 3)ex c. f x'( ) ( 2 x 1)ex. 3. La population d’une commune est passée de 3 000 à 6 000 habitants en 20 ans.
Le taux d’évolution annuel moyen (à 0,01 % près) a été de :
a. 5% b. 3,72 % c. 3,53 %.
Exercice 2 5 points
Dans un club de vacances, deux activités A et B sont proposées aux enfants entre 8 et 10 ans. Les enfants peuvent cumuler les deux activités, choisir une seule de ces deux activités, ou encore ne pratiquer aucune de ces deux activités. On choisit au hasard le nom d’un enfant de cet âge. Tous
les enfants ont la même probabilité d’être choisis.
On notera A l’évènement :
« l’enfant pratique l’activité A» et A l’évènement contraire de A, B l’évènement : « l’enfant pratique l’activité B »
et B l’évènement contraire de B.
La situation est représentée à l’aide d’un arbre pondéré donné en annexe I.
1. Compléter l’arbre et le tableau fournis en annexe 1.
2. Par lecture de l’arbre, donner les probabilités conditionnelles p BA( ) et p BA( ). 3. Démontrer quep B( ) 0, 22 .
4. On définit les évènements E et F de la façon suivante : E : « l’enfant choisi ne pratique aucune des deux activités » ; F : « l’enfant choisi pratique au moins l’une des activités ».
a. Exprimer E en fonction de A et B puis, en s’appuyant sur les résultats contenus dans le tableau du 1, déterminer p E( ).
b. Calculer p F( ). Exercice 3 6 points
On se propose dans cet exercice, d’étudier l’évolution de la consommation d’eau minérale des Français depuis 1970.
Partie A
La feuille de calcul suivante, extraite d’un tableur, donne la consommation moyenne d’eau minérale en en litres par Français sur une année
A
A
B
B B 0,6 B
...
...
...
0,3
0,9
A B C
1 Consommation ( en litre ) Taux dévolution décennal exprimée en pourcentage 0,1
2 1970 40
3 1980 55 37,5
4 1990 90 63,6
5 2000 149 65,6
1. a. Que signifie le nombre 37,5 obtenu dans la case C3 ?
On attend une explication en français et la justification de ce nombre à l’aide d’un calcul.
b. Quelle formule faut-il écrire dans la case C3 pour compléter la colonne C en recopiant cette formule vers le bas ?
2. a. Calculer le taux d’évolution global de la consommation d’eau minérale entre les armées 1970 et 2000.
b. En déduire que le taux d’évolution décennal moyen entre les années 1970 et 2000 est de 55 % (à 1 % près).
c. Si l’on fait l’hypothèse que la consommation d’eau minérale continue à évoluer en suivant le taux décennal de 55 % au delà de l’an 2000, quelle consommation, à un litre près, peut-on prévoir pour l’année 2010 puis pour l’année 2040 ?
Partie B
Le tableau suivant donne l’évolution de cette consommation, en litre par personne entre 1995 et 2004.
Le nuage de points correspondant est donné en annexe 2. Le but est de rechercher un ajustement affine de ce nuage de points.
Année 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Rang xi de l’année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Consommation yi
(en litres) 117 115 122 134 142 149 152 150 168 169
1. Déterminer les coordonnées du point moyen G de cette série et placer ce point sur le graphique.
2. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, par la méthode des moindres carrés, une équation la droite (¢) d’ajustement affine de y en x sous la forme : y = ax +b où a et b seront arrondis à 0,1 près.
3. Tracer la droite (D) sur le graphique de l’annexe 2.
4. a. À l’aide de l’équation précédente, estimer la consommation d’eau minérale par Français en 2010 (arrondie au litre près).
b. Retrouver graphiquement le résultat précédent.
c. Le résultat obtenu en 4 a est différent du résultat obtenu dans la partie A question 2.
Pouvait-on s’y attendre ?
rang xi de l'année Quantité en litre
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-1 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210
0 1
100 110
x y
Exercice 4 6 points
On considère une fonction f définie sur l’intervalle [−2 ; 2].
Partie A
La figure ci-dessous donne une partie de la courbe C représentative de la fonction f dans un repère
orthonormal du plan, ainsi que la droite D, tangente à la courbe au point d’abscisse 0. On note f ′ la fonction dérivée de f sur [−2 ; 2].
D
C
-1 -2
2
-1
-2
0 1
1
x y
1. Par lecture graphique et sans donner de justification : a. Déterminer f (0).
b. Donner le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0. Aucune valeur approchée de la (ou des) solution(s) n’est demandée.
c. Donner le nombre de solutions de l’équation f ′(x) = 0. Aucune valeur approchée de la (ou des) solution(s) n’est demandée.
2. Par lecture graphique et en justifiant votre réponse, déterminer f ′(0).
3. L’une des deux courbes C1, C2, C3 ci-après est la courbe de la fonction f ′, fonction dérivée de la fonction f . En justifiant votre réponse, éliminer les deux courbes qui ne peuvent pas représenter f ′.
-1 -2
2
-1
0 1
1
x y
C1
C2
2 -1
-2 -3 -4
2 3 4
-1 -2
0 1
1
x y
-1 -2
2 3
-1 -2
0 1
1
C3
Partie B
La fonction f étudiée dans la première partie est définie sur [−2 ; 2] par : 1 2
( ) 2 1,5
2
f x e x x 1.Calculer f(0).
2.On note f 'la fonction dérivée de f . a. Calculer f x'( ).
b. Résoudre dans [−2 ; 2], l’inéquation e2x 2 0
c. En déduire l’intervalle sur lequel la fonction f est croissante.
Exercice 1 .
1. Pour tout réel x,ln( )ex x donc on aln(e3) 3lne 3 : réponse b.
2. Posons u2x3 ; u' 2 et v e x ; v' ex et on obtient '( ) ' ' 2 x x(2 3) x( 2 1)
f x u v v u e e x e x : réponse c.
3. En vingt ans, la population a doublé c’est-à-dire elle a été multipliée par 2. Si t désigne le taux d’évolution annuel moyen, on a (1t)20 2 t 21/ 20 1 0,0353 soit 3.53% : réponse c.
Exercice 2
Soit A l’évènement « l’enfant pratique l’activité A » et B l’évènement « l’enfant pratique l’activité B ».
1. D’après la loi des nœuds , la somme des probabilités à chaque nœud est égale à 1.
On en déduit l’arbre suivant : Pour calculer p(A B) , on multiplie les probabilités situées sur les branches et A et B
A
A
B
B B 0,6 B
0,7 0,4 0,1
0,3
0,9
p(A B) =p(A) p (B) =0,6 0,3=0,18 A
p(A B ) =p(A) p ( B ) =0,6 0,7=0,42 A
p( A B) =p( A ) p (B) =0,4 0,1=0,04 A
p( A B ) =p( A ) p ( B ) =0,4 0,9=0,36 A 2. On en déduit la probabilité de B sachant A : p (B) =0,3A puisp (B) =0,1A .
3. D’après la formule des probabilités totales, p(B)=p(A B)+p( A B) =0,18+0,04=0,22 . 4. Soit E l’évènement « l’enfant ne pratique aucune activité » et
F « l’enfant pratique au moins une activité ».
a. On a E A B donc p E( ) p A B( ) 0,36 .
b. On peut raisonner de deux méthodes.
Méthode 1 : on remarque que FE et du coups, p F( ) p E( ) 1 p E( ) 1 0,36 0, 64 . Méthode 2 : on utilise le fait que F A B et du coups,
P F( ) p A B( ) p A( )p B( ) p A B( ) 0,6 0, 22 0,18 0,82 0,18 0,64 Exercice 3
1. Interprétons les données du tableau :
a. Le nombre 37.5 de la case C3 signifie qu’entre les années 1970 et 1980, la consommation d’eau minérale des Français a augmenté d’environ 37,5% (arrondi à 0.1).
En effet, le taux d’évolution est 55 40
100 37,5%
t 40
b. On peut écrire par exemple « 100*( 3B B2)B2». Pour arrondir à 0.1%, on peut même écrire la formule «arrondi(100*( 3B B2)B2;1)».
2. a. Entre les années 1970 et 2000, le taux d’évolution est 149 40
100 272,5%
t 40 , soit une hausse de 272,5%.
b. Le taux d’évolution décennal moyen au cours de ces trois décennies vérifie
(1T)3 1 2, 725 3,725 c’est-à-dire T 3, 7251/ 3 1 0,55 soit 55% arrondi à 0.1%.
c. Pour l’année 2010, on peut prévoir une consommation d’environ 149(1+ 0,55) » 231 litres, et Pour 2040, une consommation d’environ 149 1,55 4 860litres.
PARTIE B
1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 4,5
x . 117 115 122 134 142 149 152 150 168 169
141,8
y 10
Le point moyen est le point qui a pour coordonnées (x, y). Ici, nous avons G(4.5;141.8) .
2. A l’aide de la calculatrice par la méthode des moindres carrés, on trouve que la droite d’ajustement a pour équation : y6,3x113, 4 .
3. Pour tracer la droite, on place l’ordonnée à l’origine B et on trace la droite (BG) (en fait G ne vérifie pas l’équation à cause des arrondis).
4. a. Comme 2000 correspond au rang 5, 2010 correspond au rang x = 15.
Or pour x = 15, y6,3 15 113, 4 207,9 litressoit une consommation d’environ 208 litres (on avait trouvé 231 litres par la première méthode).
y = 6,303 x + 113,4
rang xi de l'année Quantité en litre
207,9
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
120 130 140 150 160 170 180 190 200 210
0 1
100 110
x y
b. Voir page précédente
c. Oui on pouvait s’attendre à un résultat différent, car dans la partie A, on est parti de l’hypothèse que la consommation allait évoluer avec un taux décennal fixe de 55% en se basant sur des consommations anciennes (1970-1980), alors que dans la 2émé partie, les chiffres sont annuels et beaucoup plus récents donc plus représentatifs des comportements actuels.
c’était prévisible puisqu’on compare une méthode d’approximation à progression géométrique (partie A) et arithmétique (méthode B).
Exercice 4
1. a. On lit f(0) 1.
b. La courbe intercepte deux fois l’axe des abscisses, l’équation f x( ) 0 admet donc deux solutions.
c. On constate que la courbe admet une seule tangente horizontale (en son sommet), l’équation f x'( )admet donc une seule solution.
2. f '(0)correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0 : cette tangente est D. Cette droite passe par les points A( 1;0) , B(0; 1) . Son coefficient directeur est donc
B A 1
B A
y y
a x x
.
3. Le tableau de variations de la fonction et le tableau de signe de la dérivée f 'sont :
x 2 2
'( )
f x +
( )
f x f( )
-C3 ne convient donc pas, le signe de la fonction qu’elle représente n’est pas celui de f '. - C1 ne convient pas non plus puisque f '(0) 1. Ainsi, la fonction f 'est représentée par C2 . Partie B
On admet que 1 2
( ) 2 1,5
2
f x e x x .
1. 1 0 1
(0) 2 0 1,5 1,5 1
2 2
f e
2. a. nous savons que
eax b ' aeax b donc f x'( )e2x2( on retrouve bien f '(0) 1 ).b. nous avons : 2 2 2 ln 2
2 0 2 ln( ) ln 2 2 ln ln 2
2
x x x
e e e x e x puisque la fonction ln est croissante .Donc ln 2
2 ;2
S
. c. Sur l’intervalle ln 2
2 ;2
, la fonction f est croissante et le sommet a pour abscisse ln 2 2 .
ln 2 1 ln 2 1
( ) ln 2 1,5 2 ln 2 1,5 1 ln 2 1,5 0,5 2ln 2
2 2 2
f e
x 2 ln 2
2
2 '( )
f x +
( ) f x
0,5e42,5
0,5 ln 2
4
5,5 2
e
