● ● ● ● ● TS - Contrôle n°1

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TS - Contrôle n°1

● La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie.

● Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié.

● La calculatrice est autorisée.

● Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.

● Si, au cours de l'épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

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Exercice n°1 [/10,75]

Soit (u n ) la suite définie par u 1 = 1

2 et u n+1 = n+1

8 n u n , pour tout n ∈ N*.

1. ^[0.75] Calculer u 2 , u 3 et u 4 .

2. [1.5] Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, u n est strictement positif.

3. ^[1.5] Démontrer que la suite (u n ) est décroissante.

4. [2] On définie la suite (v n ) par : v n = u _n

n . Démontrer que (v n ) est une suite géométrique, et déterminer son premier terme et sa raison.

5. [1] En déduire que u n s'écrit sous la forme : u _n = n

2 a ⁿ⁻¹ où a est un nombre entier positif que l'on déterminera.

6. [3] Démontrer par récurrence que, pour n2, 1 2 a ⁿ⁻¹ < 1

n ² , a étant le nombre précédemment déterminé.

7. ^[1] Déduire de ce qui précède la limite de la suite (u n ) .

Exercice n°2 [/15]

Soit la fonction f définie par : f(x) = 1

3 x ³ –0 , 6x .

1. ^[3] Étudier les variations de f. On justifiera aussi les limites en +: et en -:.

2. On définit la suite (u n ) par u n+1 = f(u n ) et u 0 = 0,3.

a. [1.25] Calculer u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , et u 5 , arrondis au millième près.

b. [2] Montrer que, pour tout entier naturel n, - √ ^{0,6 <u n <} √ ^{0,6 .}

c. [3] Montrer que, pour tout entier naturel n, si u n+1 ≤ u n , alors u n+2 ≥ u n+1 . 3. De la suite (u n ), on « extrait » deux sous-suites (a n ) et (b n ) : a n = u 2n et b n = u 2n+1 .

a. [0,75] Déduire a 0 , a 1 , a 2 , b 0 , b 1 et b 2 de l'énoncé et des calculs de la question 2.

b. [3] Montrer que l'une des suites est croissante et que l'autre est décroissante.

c. ^[1] En déduire que ces deux suites sont convergentes.

d. [1] [Dans cette question, toute démarche sera valorisée] Peut-on en déduire que la suite (u n ) converge ? Expliquez votre démarche.

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