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TS - Contrôle n°1
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La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie.•
Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié.•
La calculatrice est autorisée.•
Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.•
Si, au cours de l'épreuve, vous repérez ce qui semble être une erreur d'énoncé, signalez-la sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre.•
Exercice n°1 [4 pts]
Soit la suite (un) définie par u0 = 2 et, pour tout entier naturel,
$u_{n+1}=2u_{n}+/t{2;3}n² - /t{2;3}n$.
On considère également la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn=un + #1n2 + /calc{2*#1-#2}n + /calc{3*#1-#2}.
1.[1] Voici un extrait de feuille d’un tableur :
A B C
1 n u_n v_n
2 0 2 /calc{2+3*#1-#2}
3 1 4 /calc{2*(2+3*#1-
#2)}
4 2 /calc{4+#1-#2} /calc{4*(2+3*#1-
#2)}
5 3 /calc{2*(4+#1-
#2)+4*#1-2*#2}
/calc{8*(2+3*#1-
#2)}
6 4 /calc{16*(2+3*#1-
#2)}
Quelles formules a-t-on écrites en C2 et B3 pour afficher les termes des deux suites, sachant qu’il suffit ensuite de les recopier vers le bas ?
2.[2.5] Déterminer, en justifiant, une expression de vn et un en fonction de n.
3.[0.5] Calculer u340.
Exercice n°2 [7 pts]
/iv{/t{2;4}}
/iv{/t{5;3}}
Soit (un) la suite définie par u0=2, u1=/t{1;2} et un+2= /calc{#3+#4}un+1 + /calc{-#3*#4}un , pour tout n ∈ N*.
1.[2] Calculer u2, u3, u4 et u5. On ne détaillera que le calcul de u3.
2.[3] Démontrer que $u_n=/si{#4*2-#5=0;/si{#3*2-#5=#3-#4;#4^n;/fs{#3*2-#5;#3-#4} ×
#4^n};/si{#4*2-#5=#4-#3;/si{#3*2-#5=#3-#4;#3^n+#4^n;#3^n + /fs{#3*2-#5;#3-#4} ×
#4^n};/fs{#4*2-#5;#4-#3} × #3^n + /fs{#3*2-#5;#3-#4} × #4^n}}$.
3.[2] En déduire le comportement de (un) à l’infini (est-elle convergente ? Divergente?). Justifier.
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Exercice n°3 [12 pts]
Soit la fonction f définie par : $f(x)=/f{1;3}x^3 -/t{0,36;0,49;0,64;0,81}x$.
On définit la suite (un) par un+1 = f(un) et u0 = /calc{#7/2}.
1.[6,5] Étudier les variations de f. On justifiera aussi les limites en +: et en -:.
2.[1.5] Soit x2 = $1,5 sqrt{ 4 over 3 times /calc{1+#7}}$. Montrer que, sur ]0; x2[, f(x)+x ≥ 0 et que, sur ]-x2;0[, f(x)+x ≤ 0.
3.[2] Montrer que, pour tout entier naturel n : si un+1 ≤ un, alors un+2 ≥ un+1.
si un+1 ≥ un, alors un+2 ≤ un+1.
4.[2] Montrer que, pour tout entier naturel n, -#7<un<#7.
Exercice n°4 [6 pts]
/iv{¤}
Soit g la fonction définie par $g(x)={sqrt{/x^2-#8x}}over{x-#8}$.
1.[5] Déterminer les limites suivantes : a. /lim{x ;- ∞;g(x)}
b. /lim{x ;0^"-";g(x)}
c. /lim{x ;Left(/f{1;#8} Right)^"-";g(x)}
d. /lim{x ;#8^"+";g(x)}
e. /lim{x ;+ ∞ ;g(x)}
2.[1] En déduire l’existence ou non d’asymptote(s) dont on donnera les équations.
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