TS SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES 05/02/2019
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
L’usage de la réflexion est recommandé !
Exercice 1 : Cours
Soient ܽ, ܾ et ܿ trois entiers naturels non nuls.
1. Énoncer le théorème de Bézout.
2. Énoncer le théorème de Gauss.
3. À l’aide du théorème de Bézout, démontrer le théorème de Gauss.
4. p et q sont deux entiers naturels premiers entre eux.
Déduire du théorème de Gauss que si a est un entier relatif tel que ܽ ≡ 0[] et ܽ ≡ 0[ݍ] alors ܽ ≡ 0[ݍ].
Exercice 2 :
On pose ܣ = ቀ−3 20 −3ቁ et ܰ = ቀ0 20 0ቁ. 1. Exprimer ܣ en fonction de ܫ et ܰ.
Calculer la matrice ܰଶ et déduire une expression de ܣଶ en fonction de ܫ et ܰ.
3. Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel ݊, ܣ = ሺ−3ሻܫ + ݊ሺ−3ሻିଵܰ.
Donner alors l’écriture de ܣ avec ses 4 coefficients.
Exercice 3 :
Les questions 1 et 2 sont indépendantes
1. ݊ désigne un entier naturel non nul et ܽ = ݊ሺ݊ଶ+ 5ሻ. a) Compléter les tableaux de congruence suivants :
݊ ≡ ⋯ [2] 0 1
݊ଶ+ 5 ≡ ⋯ [2]
ܽ ≡ ⋯ [2]
݊ ≡ ⋯ [3] 0 1 2
݊ଶ+ 5 ≡ ⋯ [3]
ܽ ≡ ⋯ [3]
b) En déduire que ܽ est divisible par 6.
2. a) Déterminer un couple d’entiers ሺݑ; ݒሻ tel que 14ݑ + 27ݒ = 1. b) Que peut-on en déduire pour les nombres 14 et 27 ?
c) Résoudre alors l’équation 14ݔ + 27ݕ = 1. d) Résoudre enfin l’équation 14ݔ + 27ݕ = 5.
Exercice 4 :
Un individu vit dans une région où il est susceptible d’attraper une maladie par piqûre d’insecte. Il peut être dans l’un des trois états suivants : immunisé (I), malade (M) ou sain et non immunisé (S).
D’un mois à l’autre son état peut changer de la façon suivante :
- étant immunisé, il peut le rester avec une probabilité 0,9 ou passer à l’état S avec une probabilité égale à 0,1 ;
- étant à l’état S, il peut le rester avec une probabilité 0,5 ou passer à l’état M avec une probabilité égale à 0,5 ;
- étant malade, il peut le rester avec une probabilité 0,2 ou passer à l’état I avec une probabilité 0,8.
1) Réaliser un graphe qui traduit la situation étudiée.
2) Écrire la matrice de transition ܯ (on prendra les états I, M et S dans cet ordre)
3) On suppose qu’au départ un individu est immunisé. Calculer ܯଶ et en déduire la probabilité que cet individu :
a) soit malade au bout de 2 mois,
b) soit encore immunisé au bout de 2 mois.
4) Calculer la probabilité pour que, au bout d’un an, un individu soit malade dans chacun des cas suivants :
a) au départ, il est immunisé,
b) au départ, il est sain et non immunisé, c) au départ, il est malade.
Exercice 5 :
1) a) Montrer que la somme et la différence de deux entiers pairs sont paires. Que dire de la somme et de la différence de deux entiers impairs ?
b) En déduire que, pour tout ݊ ∈ ℕ,
మା
ଶ et
మି
ଶ sont des entiers.
2) a) Écrire 1ଷ, 2ଷ et 3ଷ comme une différence de deux carrés.
b) Le nombre ܽ est un entier naturel non nul. Montrer qu’il existe deux entiers naturels ݉ et tels que
݉ + = ܽଶ et ݉ − = ܽ. En déduire ܽଷ en fonction de ݉ et .
c) Montrer que le cube de tout entier naturel non nul peut s’écrire comme une différence de deux carrés.
3) Application : Écrire 7ଷ comme une différence de deux carrés.
Exercice 6 : Bonus, seulement s’il reste du temps
On lance des fléchettes sur la cible ci-dessous. De combien de manières peut-on réaliser un total de 200 points ? (on ne tiendra compte que des fléchettes qui rapportent des points)
