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SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES
27/03/2018 La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
L’usage de la calculatrice est autorisé.
On donne les matrices ܯ = ൭1 1 1 1 −1 1
4 2 1൱ et ܫ = ൭1 0 0 0 1 0 0 0 1൱. Partie A
1. Déterminer la matrice ܯଶ. On donne ܯଷ = ൭20 10 11
12 2 9
42 20 21൱ 2. Vérifier que ܯଷ = ܯଶ+ 8ܯ + 6ܫ.
3. En déduire que ܯ est inversible et que ܯିଵ =ଵ(ܯଶ− ܯ − 8ܫ)
Partie B Étude d’un cas particulier
On cherche à déterminer trois nombres entiers ܽ, ܾ et ܿ tels que la parabole d’équation ݕ = ܽݔଶ+ ܾݔ + ܿ passe par les points ܣ(1; 1), ܤ(−1 ; −1) et ܥ(2; 5).
1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers ܽ, ܾ et ܿ tels que ܯ ቆܽ
ܾܿቇ = ൭ 1
−15 ൱ 2. Calculer les nombres ܽ, ܾ et ܿ et vérifier que ces nombres sont des entiers.
Partie C Retour au cas général
Les nombres ܽ, ܾ, ܿ, , ݍ, ݎ sont des entiers.
Dans un repère (ܱ, ଓԦ, ଔԦ) , on considère les points ܣ(1 ; ), ܤ(−1 ; ݍ) et ܥ(2 ; ݎ).
On cherche des valeurs de , ݍ et ݎ pour qu’il existe une parabole d’équation ݕ = ܽݔଶ+ ܾݔ + ܿ passant par ܣ, ܤ et ܥ.
1. Démontrer que si ቆܽ
ܾܿቇ = ܯିଵቆ
ݍݎቇ avec ܽ, ܾ et ܿ entiers, alors : ቐ −3 + ݍ + 2ݎ ≡ 0[6]
3 − 3ݍ ≡ 0[6]
6 + 2ݍ − 2ݎ ≡ 0[6]. 2. En déduire que ൜ − ݍ ≡ 0[2]ݍ − ݎ ≡ 0[3].
3. Réciproquement, on admet que si ቐ − ݍ ≡ 0[2]
ݍ − ݎ ≡ 0[3]
ܣ, ܤ et ܥ ne sont pas alignés alors il existe trois entiers
ܽ, ܾ et ܿ tels que la parabole d’équation ݕ = ܽݔଶ+ ܾݔ + ܿ passe par ܣ, ܤ et ܥ.
a. Montrer que les points ܣ, ܤ et ܥ sont alignés si et seulement si 2ݎ + ݍ − 3 = 0. b. On choisit = 7.
Déterminer des entiers ݍ, ݎ, ܽ, ܾ et ܿ tels que la parabole d’équation ݕ = ܽݔଶ+ ܾݔ + ܿ passe par ܣ, ܤ et ܥ.
