TS SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES 20/10/2017
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
L’usage de la calculatrice est autorisé.
Exercice 1 :
1. (a) Montrer que, pour tout entier naturel ݊, 2ଷ ≡ 1[7]
(b) En déduire que 2ଶଵ≡ 2[7] puis que 2018ଶଵ ≡ 2[7]
2. Montrer que, pour tout entier naturel ݊, 3ଷ ≡ ሺ−1ሻ[7]
3. Pour quelles valeurs de ݊, l’entier 2ଷ+ 3ଷ est-il un multiple de 7 ?
Exercice 2 : On considère la suite ሺݑሻ d’entiers naturels définie par : ݑ = 2 et ݑାଵ= 8ݑ + 1, pour tout entier naturel ݊.
1. Calculer ݑଵ, ݑଶ, ݑଷ et ݑସ.
2. Quelle conjecture peut-on émettre concernant le chiffre des unités de ݑ, pour tout ݊ ≥ 1 ? 3. Valider cette conjecture à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
Exercice 3 :
Montrer que l’équation 49ݔଶ − ݕଶ = 13 admet un unique couple d’entiers naturels ሺݔ; ݕሻ solution.
TS SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES 20/10/2017
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
L’usage de la calculatrice est autorisé.
Exercice 1 :
1. (a) Montrer que, pour tout entier naturel ݊, 2ଷ ≡ 1[7]
(b) En déduire que 2ଶଵ≡ 2[7] puis que 2018ଶଵ ≡ 2[7]
2. Montrer que, pour tout entier naturel ݊, 3ଷ ≡ ሺ−1ሻ[7]
3. Pour quelles valeurs de ݊, l’entier 2ଷ+ 3ଷ est-il un multiple de 7 ?
Exercice 2 : On considère la suite ሺݑሻ d’entiers naturels définie par : ݑ = 2 et ݑାଵ= 8ݑ + 1, pour tout entier naturel ݊.
1. Calculer ݑଵ, ݑଶ, ݑଷ et ݑସ.
2. Quelle conjecture peut-on émettre concernant le chiffre des unités de ݑ, pour tout ݊ ≥ 1 ? 3. Valider cette conjecture à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
Exercice 3 :
Montrer que l’équation 49ݔଶ − ݕଶ = 13 admet un unique couple d’entiers naturels ሺݔ; ݕሻ solution.
