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TS - DM n°14 – (rem. ex.n°2 du contrôle n°3) - (/8)

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Academic year: 2022

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TS - DM n°14 – (rem. ex.n°2 du contrôle n°3) - (/8)

Exercice

On considère la suite (u

n

) définie par : u

n+1

= /f{1;¤} u

n

+ ¤n - ¤. et u

0

=¤ . 1. [0,75 pt] Calculer u

1

, u

2

et u

3

.

2. [1,5 pt] Démontrer que, pour tout entier naturel n  /fs{#3;#2}, u

n

 0 . 3. [1,5 pt] Montrer que, pour tout entier naturel n  /fs{#3;#2} :

u

n

 /fs{/calc{#1*#2};/calc{#1-1}} n – /fs{/calc{#1*#3};/calc{#1-1}} .

4. [0,75 pt] Déduire de la question précédente la limite de la suite u

n

. 5. [2 pts] On définit la suite v

n

par :

v

n

= /calc{1-#1} u

n

+ /calc{#1*#2}n – /fs{/calc{#1*(1-#1)*#3-#1*#1*#2};/calc{(1-#1)}}

Démontrer que v

n

est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

6. [0,5 pt] Déduire de la question précédente l'expression de u

n

en fonction de n.

7. [1 pt] Soit v

n

la suite définie par : S

n

= /sum{k=0;n;u_k}.

Déterminer l'expression de S

n

en fonction de n.

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