Complexes (trigo et forme expo)

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Complexes (trigo et forme expo)

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Formules trigonométriques

Exercice 1 :

1) a) Montrer que ^!_"−^!_$ = _&'^!

b) En déduire la valeur de 𝑐𝑜𝑠 ,_&'^!-.

2) a) En établissant un lien entre ^!_. et _&'^!, exprimer cos ,^!_.- en fonction de cos ,_&'^!-.

b) Retrouver la valeur de cos ,_&'^!-.

Exercice 2 :

1) Montrer que, pour tout réel 𝑥 : sin(𝑥) − cos(𝑥) = √2 sin ,𝑥 −^!_$-.

2) a) Exprimer cos ,𝑥 −^!_.- et sin ,𝑥 −^!_.- en fonction de 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) et sin(𝑥).

b) En déduire les solutions dans ]−𝜋; 𝜋] de cos(𝑥) − √3 sin(𝑥) = −1

3) On cherche à déterminer deux réels 𝐴 et 𝛼 avec 𝐴 > 0 et 0 ≤ 𝛼 < 2𝜋 tels que :

√3 cos(𝑥) + sin(𝑥) = 𝐴 cos(𝑥 + 𝛼) a) Factoriser l’expression √3 cos(𝑥) + sin(𝑥) par 2.

Remarque : pour transformer une expression du type 𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑏 𝑠𝑖𝑛 (𝑥), on commence par factoriser l’expression par √𝑎^'+ 𝑏^' qui ici vaut I√3^'+ 1^' = 2

b) En utilisant une formule trigonométrique d’addition, conclure.

Exercice 3 :

1) Déterminer la forme exponentielle de nombres complexes suivants :

a) 𝑧_& de module 2 et d’argument ^K!_. b) 𝑧_' = 𝑒^M^NO^P𝑧_&^' c) 𝑧_" = ^'Q^R

S^T^NO^P

2) On considère le complexe 𝑧 = 2𝑒^NO^P. Déterminer la forme algébrique de 𝑧^&U. 3) En utilisant la formule d’Euler, montrer que :

cos^"(𝜗) =3 cos(𝜗) + cos(3𝜗)

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Indication : on utilisera (𝑎 + 𝑏)^" = 𝑎^"+ 3𝑎^'𝑏 + 3𝑎𝑏^' + 𝑏^"

Forme exponentielle

Exercice 4 : placer dans le repère ci-contre les points images des complexes suivants :

𝑒^X!, 𝑒^NO^Y, 2𝑒^NO^Y, 𝑒^ZNO^Y , 2𝑒^ZNO^Y et 𝑒^M'X!

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Exercice A : différentes formes

1) Mettre le complexe 𝑧& =_&[X^' sous forme algébrique.

2) a) Mettre le nombre complexe 𝑧_' = 1 + 𝑖 sous forme trigonométrique.

b) En déduire sa forme exponentielle.

3) a) Mettre le nombre complexe 𝑧_" = 2𝑒^NO^Y sous forme algébrique.

b) Représenter ce nombre.

Exercice 5 :

a) Donner la forme exponentielle des nombres complexes 5𝑖 et 4 + 4𝑖.

b) Donner la forme algébrique des nombres complexes √2𝑒^M^NO^] et 6𝑒^ZNO^Y .

Exercice 6 : on considère les nombres complexes 𝑧& = 4√3 + 4𝑖 et 𝑧' = 𝑖𝑒^NO^Y. Écrire 𝑧_& et 𝑧_' sous forme exponentielle.

Exercice B : autour de la forme exponentielle (QCM) Question 1 : on considère le nombre complexe 𝑧 = −2𝑒^NO^]. Soit 𝑧̅ le nombre complexe conjugué de 𝑧. Une écriture de 𝑧̅ est : a) 2𝑒^NO^] b) 2𝑒^M^NO^] c) 2𝑒^M^aNO^] d) 2𝑒^aNO^]

Question 2 : un argument du nombre complexe 𝑧 = (2 − 2𝑖) × 𝑒^NO^Z est :

a) ^!_' b) ^!_$ c) ^"!_$ d) 4√2

Exercice 7 : simplifier les écritures suivantes : a) c2𝑒^M^NO^Zd c3𝑒^NO^Yd b) ^'S^NO

S^NO^] c) c3𝑒^M^NO^Yd^$ d) ^eS

NOYf Z

e"S^NO^]f Y

Exercice 8 : on donne 𝑧 = √3 + 𝑖.

Écrire 𝑧 sous forme exponentielle, puis en déduire la forme algébrique de g√3 + 𝑖h^&&. Exercice C : forme exponentielle et cercle

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (0; 𝑢j⃗, 𝑣⃗).

Les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 ont pour affixes respectives : 𝑧_p = 2𝑒^NO^Z, 𝑧_q = −1 + 𝑖√3 et 𝑧_r = 𝑧_p× 𝑧_q.

Le point 𝐶 appartient-il au cercle de centre 𝑂 et de rayon 4 ? Justifier.

Exercice 9 : en utilisant les formules d’Euler, montrer que, pour tout 𝑥 et tout 𝑦 réels : 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) cos(𝑦) =1

2[cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦)]

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Exercice D : acoustique et complexes (BAC Ti2D Polynésie 2019)

Les résistances et les condensateurs sont des composants électroniques utilisés dans le domaine du son pour concevoir des filtres.

Placé en sortie d’un microphone, un filtre atténue plus ou moins les sons selon leur fréquence 𝑓, exprimée en Hertz (Hz).

Pour un filtre donné, l’atténuation d’un son se calcule à l’aide de deux nombres complexes 𝑧_w et 𝑧_x. Dans tout l’exercice, on suppose que 𝑧_w = 10 et 𝑧_r = −&UUU√"

y 𝑖, où 𝑖 désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument ^!_'.

Partie A : effet du filtre sur un son grave.

On choisit un son grave de fréquence 𝑓 = 100.

1. Montrer que 𝑧_r = −10√3𝑖.

2. a) Déterminer la forme exponentielle de 𝑧_r.

b) On considère le nombre complexe 𝑍 = 𝑧_w + 𝑧_r. On a donc 𝑍 = 10 − 10√3𝑖.

Déterminer la forme exponentielle de 𝑍.

c) On considère le nombre complexe 𝑧_{ défini par 𝑧_{ =_Q^Q^|

}[Q_| . Montrer que 𝑧_{ = ^√"_' 𝑒^M^NO^P. d) Le module de 𝑧{ est appelé gain du filtre.

Donner la valeur exacte du gain du filtre, puis une valeur approchée arrondie au centième.

Partie B : effet du filtre sur un son aigu.

On choisit un son aigu de fréquence 𝑓 = 1000√3.

1. Montrer que le nombre complexe 𝑧_{ défini par 𝑧_{ =_Q^Q^|

}[Q_| est égal à _&UMX^MX 2. Déterminer la forme algébrique de 𝑧{.

Calculer la valeur exacte du gain du filtre |𝑧_{| et en donner une valeur approchée arrondie au centième.

Exercice E : complexes et suite

On considère la suite de nombres complexes (𝑧_•) définie pour tout entier naturel 𝑛 par : 𝑧_U = √3 − 𝑖 et 𝑧_•[& = (1 + 𝑖)𝑧_•

1) Déterminer la forme algébrique de 𝑧_&.

2) a) Déterminer la forme exponentielle de 𝑧_U et de 1 + 𝑖.

b) En déduire la forme exponentielle de 𝑧_&.

3) Déduire des questions précédentes la valeur exacte de cos ,_&'^!-.

Racines n-ièmes de l’unité

Exercice 10 : résoudre dans ℂ les équations suivantes : a) (𝑧 + 2)^K = 1 b) 𝑧^" = −27

Exercice 11 :

a) En utilisant les racines n-ièmes de l’unité,

tracer un octogone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique dont un des sommets est le point 𝐴 d’affixe 1.

b) Déterminer la longueur de ses côtés.

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Exercice 12 :

a) Démontrer que, pour tout nombre complexe 𝑧 : 𝑧^K− 1 = (𝑧 − 1)(1 + 𝑧 + 𝑧^'+ 𝑧^"+ 𝑧^$) b) Soit 𝜔 une racine 5-ième de 1, différente de 1.

Démontrer que les racines dans ℂ de l’équation 𝑧^K − 1 = 0 sont 1, 𝜔, 𝜔^', 𝜔^" et 𝜔^$.

c) Justifier que la somme des racines 5-ièmes de l’unité est nulle.

Exercices supplémentaires

Exercice 𝜶 : « a, b, c et Z »

On considère les nombres complexes suivants :

𝑎 = −2√2 + 2𝑖√2 𝑏 = −2 − 2𝑖√3 𝑐 = 2√3 − 2𝑖 On appelle A, B et C leurs images respectives dans le plan muni d’un repère orthonormé (𝑂; 𝑢j⃗, 𝑣⃗) d’unité 1 cm.

1) a) Calculer les modules de 𝑎, 𝑏 et 𝑐.

b) En déduire que les points A, B et C sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

2) Donner un argument de chacun des nombres 𝑎, 𝑏 et 𝑐.

3) Déterminer la forme exponentielle, puis la forme algébrique, du nombre complexe : 𝑍 =^„^Y_x^×…_P ^Y 4) Montrer que 𝑍^$ = −1.

5) On appelle N le point image du nombre 𝑍.

Représenter A, B, C, N dans le repère donné.

Exercice 𝜷 : ligne brisée, complexes et suite

On définit, pour tout entier naturel 𝑛, les nombres 𝑧• par : ‡ 𝑧_U = 16

𝑧_•[& =^&[X_' 𝑧_•

On note 𝑟_• le module du nombre complexe 𝑧_•. Ainsi 𝑟_• = |𝑧_•|. Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine 𝑂, on considère les points 𝐴• d’affixes 𝑧•.

1) a) Calculer 𝑧_&, 𝑧_' et 𝑧_".

b) Placer les points 𝐴& et 𝐴' ci-contre :

c) Écrire le nombre complexe ^&[X_' sous forme trigonométrique et sous exponentielle.

d) Démontrer que le triangle 𝑂𝐴_U𝐴_& est isocèle rectangle en 𝐴_&. 2) a) Démontrer que la suite (𝑟_•) est géométrique de raison ^√'_'.

b) La suite (𝑟_•) est-elle convergente ? Interpréter géométriquement le résultat précédent.

On pose 𝐿_• la longueur de la ligne brisée qui relie le point 𝐴_U au point 𝐴_• en passant successivement par les points 𝐴_&, 𝐴_', 𝐴_", … Ainsi 𝐿_• = ∑^•M&_X‹U 𝐴_X𝐴_X[& = 𝐴_U𝐴_&+ 𝐴_&𝐴_' + ⋯ + 𝐴_•M&𝐴_•

3) a) Démontrer que, pour tout entier naturel 𝑛 :

𝐴_•𝐴_•[& = 𝑟_•[&

b) Donner une expression de 𝐿_• en fonction de 𝑛.

c) Déterminer la limite éventuelle de (𝐿_•).