Des vibrations à la surface d'un liquide placé dans un vase de forme rectangulaire

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Submitted on 1 Jan 1880

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vase de forme rectangulaire

M. Lechat

To cite this version:

M. Lechat. Des vibrations à la surface d’un liquide placé dans un vase de forme rectangulaire. J.

Phys. Theor. Appl., 1880, 9 (1), pp.185-192. �10.1051/jphystap:018800090018500�. �jpa-00237631�

DES VIBRATIONS A LA SURFACE D’UN LIQUIDE PLACÉ DANS UN VASE DE FORME RECTANGULAIRE;

PAR M. LECHAT,

Professeur au Lycée Louis-le-Grand.

La théorie

mathématique

^des

petits

mouvements à la surface des

liquides

pesants ^{a été} établie d’abord _par

Lagrange

^{dans un}

Mémoires inséré dans la collection des Mémoires de 1’-dcaclétitie de

Berlin,

^année

1786.

^{Poisson a}

repris

^{ce tte} théorie dans ^un tra-

vail

publié

dans les Mémoires de l’Académie des

Sciences,

année 1816.

Ces deux

géomètres

^se

proposaient

^{surtout de} traiter la

question

de la forme et de la

propagation

^{des ondes à} la surface d’un

liquide

indéfini. Ils admettaient l’un et

l’autre,

^{comme condition à la sur-}

face,

que ^toute molécule de cette surface y reste constamment

pendant

^{le mouvement.}

Lorsqu’un liquide

^est

placé

^{dans un vase d’une}

petite

^étendue

et

qu’il

^est convenablement

agité,

^on voit la surface se diviser en un certain nombre de

parties

^{vibrantes et les divisions rester fixes.}

Les frères Weber me

paraissent

^{être les}

premiers qui

^{se soien t}

occupés

^{de cet état}

particulier

^{de la surface}

liquide

^{dans un Ou-}

vrage

important publié

^à

Leipzig

^{en 1825. Ils l’ont}

désigné

^du

nom

d’oscillation fixe.

^{La théorie}

qu’ils

^{ont donnée du}

phénomène

ime

paraît

^{tout à} fait insuffisante. Ils

admettent,

^sans

s’appuyer

^sur

les

principes

^{de la}

Mécanique,

que ^{le mouvement}

communiqué

^en

un

point

^{de la surface se} propage uniformément ^{et se réfléchi l}

sur les

parois

^{du vase, et}

qu’il

y ^a interférence entre le mouvement

primitif

^{et les} mouvements réfléchis. Ils ne

s’occupent

^{ni des mou-}

vements des molécules dans le sens horizontal ni de la

période

nécessaire pour que telle ^ou telle

figure

^se

produise.

^{Enfin ils}

disent,

^en résumé, que ^les

figures

de la surface sont celles _que Chladni a trouvées pour ^les

plaques

^vibrantes.

Les

équations

différentielles de

Lagrange renferment,

^en

prin- cipe,

^toute la théorie des

petits

mouvements dans les

liquides

pe-

sants. Il m’a paru intéressant de

partir

^{de ces}

équations

pour étudier les vibrations à la surface d’un

liquide

^et d’examiner

jus-

J. de Phrs., ^t. IX. (Juin 1880.)

1.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018800090018500

qu’à quel point l’expérience

ceux de la théorie. Je

n’eYposerai

ici que ^la

partie

^{de ce trayait t}

qui

^se rapporte ^{aux vases de forme}

rectangulaire.

Si l’on

prend

pour

plan

des xy celui de la surface libre du li-

quide

^en

équilibre

^{et l’axe des z}

dirigé

verticalement vers le

bas, qu’on place l’origine

^{à l’un des sommets du}

rectangle

^{de la}

^surface, qu’on

suppose l’axe des x

dirige

^{suivant le côté de}

longueur

^{1 et}

l’axe

des y suivant le

^{côté de}

lOngLleLlr l’,

^et

qu’on

^admette enfin que la vitesse initiale soit

nulle,

^{on trouve} que le ^{mouvement à} la sur-

face libre résulte de la

superposition

^de mouvements

sinlples,

^re-

présentés

^{par les}

équations

Dans ces

équations,

g ^est l’accélération due à la

pesanteur;

^{zt, rz’}

des nombres entiers

positifs ;

^{H un} coefficient

qui dépend

^des

données initiales et des valeurs de _n,

z2’, l,, l’;

^{M et v les} compo-

santes de la vitesse de

vibration, prises parallèlement

^{aux axes des}

x et

des)’, â l’époqme t

^{et au}

point

^{dont les} coordonnées

sont x, y,

z.

Quant

^à y, si l’on

désibne

par A la

profondeur

^du

liquide

^et par q

l.’exphession

il est donné par ^la relation

ou

bien,

^{si l’on admet avec}

Lagrange

que la

profondeur

^ébranlée

est très

faible,

par la relation

Le mouvement

simple correspondant

^{à des valeurs}

particulières

de _n, iz’ est

périodique,

^{et la durée v de la}

période

^{est donnée par}

I87

l’équation

Pour que l’on

puisse

^{observer un mouvement} vibratoire

régulier

à la surface du

liquide,

^il faut que les mouvements

simples

^ainsi

superposés

aient la même

période

^ou que y soit le ^même pour tous, ^ce

qui

^ne peut avoir lieu que pour ^{un nombre} limité _{de sys-} tèmes de valeurs de _ll, n’.

Alors,

^en réunissant les termes

qui

^cor-

respondent

^{à ces}

systèmes

^de

^valeurs, l’équation

^de la surface libre

est

et les composantes de la vitesse de vibration

prises parallèlement

aux x et aux y ^sont

Si l’on _pose z ⁼ o ou

on a

l’équation

^d’un

système

^de

lignes

^sur

lesquelles

^{le niveau ne}

varie pas ^avec le

temps

^et que ^l’on

appelle lignes

^nodales.

Inéquation

donne ^un

système

^de

lignes

^sur

lesquelles

^la composante ^{de la} vitesse de vibration

prise parallèlement

^{aux x est nulle à toute}

époque.

^{Sur ces}

lignes dz dx)

^{est aussi}

^nulle,

^{et, par}

conséquent,

elles renferment la série des

points qui,

pour

chaque

^valeur

de y,

ont les excursions maxima de part ^{et d’autre de la} surface libre.

Nous les

appellerons lignes

ventrales relati BTes aux x.

L’équation

est de même celle des

libnes

ventrales relati;es aux y.

points systèmes lignes

de mouvement que dans le sens

vertical,

^{et les} excursions dans ce sens y ^sont maxima. Ce sont les ventres de vibration. Si cepen- (lant certains de ces

points appartiennent

^aux

lignes nodales,

^ils

sont en repos absolu. On les

appelle

alors 7itetids de vibration.

J’ai construit les

lignes

^{nodales et les}

lignes

ventrales pour ^un

grand

^{nombre de cas des vases}

rectangulaires,

^en supposant que les conditions initiales

présentent

^une

symétrie complète

par rap- port ^{aux x et} aux y.

La fig.

^{i se} rapporte ^{au cas d’un vase}

carré,

^et

Fig. ^i.

elle a été faite

pour les

^deux

systèmes

de valeurs de _7Zy n’

Les

lignes

^{nodales sont tracées en traits}

pleins,

^les

lignes

^ventrales

du

premier système

^{en tirets et} celles du second

système

^{en tirets}

sépares

^des

points.

Il

s’agissait

maintenant de vérifier les

conséquences

^{de la théorie.}

J’ai fait

construire,

^{dans ce}

but,

^{une série de vases carrés et de}

vases

rectangulaires.

^{Les uns sont faits avec des lames de}

glace;

les autres sont en bois. Ces derniers ont été creusés dans des blocs d’un bois bien

homogène

^{et on leur a conservé une}

épaisseur

^de

I89

parois

^{d’environ 0m,01. Tous ces vases ont une}

profondeur

^bien

constante. Les vases en bois ne conviennent que pour le ^mercure;

les autres peuvent ^être

employés

pour l’eau ^et pour les ^autres li-

quides qui

^ne dissolvent pas le mastic.

J’ai cherché ^un

procédé

d’ébranlement du

liquide qui permit

^de

le faire vibrer

seul,

^autant _que

possible,

^et

qui

donnât facilement la

période

^{du mouvement} vibratoire. La

grande épaisseur

^laissée

aux

parois

^{des vases} avait pour but

d’empêcher

^les vibrations du

liquide

^{de se}

communiquer

sensiblement au vase.

Sur un

support

^{en fonte très} pesant

(fig. 2)

^{est fixé une sorte}

Fig. ^2.

d’étau à deux vis

AB, qui

^serre,

près

^{de son extrémité}

inférieure,

une lame d’acier verticale CD. A l’extrémité

supérieure

^{de cette}

lame s’attache une barre horizontale ^en cuivre

EF,

^et l’extrémité F de cette barre

porte

^une

tige

^{d’acier verticale}

^R, qui agira

^directe-

ment sur le

liquide.

^{Le vase}

rectangulaire T

^est

placé

^{sur une tablette}

horizontale,

au-dessous de la

tige ^R,

^{et le}

liquide

^{affleure exactement}

à l’extrémité de cette

tige.

^{Si l’on met la lame CD en}

vibration,

^la

tige pénètre

^{dans le}

liquide

^{et en ressort}

périodiquement.

^{Les vibra-}

terrupteur

^{à mercure}

G,

^M.

Le

liquide

peut ^{ainsi être}

attaqué

^{en un}

point quelconque

^{de la}

surface. _{Il y} aura

symétrie

par rapport ^à deux des côtés du vase si l’on

prend

^le

poin t d’attaque

^{sur la} bissec trice de leur

angle.

Pour une même lame

vibrante,

^on fait varier la

période

^{des vi-}

brations au moyen de la

tige

^{à vis}

Q

^{et du}

poids cylindrique 0,

^mo-

bile sur cette

tige.

^On peut ^du reste, ^{dans ce}

but, allonger

^ou

raccourcir la

partie

^{vibrante et même}

changer

^{la lame.}

Lorsqu’on

^{a déterminé un mouvement} vibratoire à la surface d’un

liquide,

^{il est assez difficile}

d’apercevoir

directement les divisions.

Ainsi,

pour ^le mercure, ^{on est}

obligé

^{de se}

placer

^assez

loin et de

regarder

^très

obliquement,

^de

^façon

^{à ne} recevoir que la lumière diffuse. Le

phocédé

^{suivant a réussi}

parfaitement.

On fait tomber sur la surface du

liquide

^{un faisceau de lumière}

presque

parallèle,

provenant ^d’une

lampe

^ou d’un bec de gaz, ^et l’on

place

^à

l’opposite

^{un écran blanc}

qui ^reçoit

le faisceau réfléchi.

Si l’axe du faisceau incident est

perpendiculaire

^à l’un des côtés du vase, ^et que l’écran soit

parallèle

^{au même}

^côté,

^{on obtient sur cet}

écran une

impression rectangulaire qui

^{sera semblable à la surface}

liquide

^{dans le cas où} l’écran fera avec les rayons réfléchis le ^même

,angle

que la surface

liquide

^avec les rayons incidents. Tant que le

liquide

^{est en} repos, ^cette

impression

^est uniformément éclairée.

Aussitôt que ^{le mouvement} vibratoire se

produit,

^{on voit}

apparaître

des espaces

plus

^{brillants et d’autres}

plus ^sombres,

et, pour des valeurs convenables de la

période,

^les

figures

^{obtenues ont une}

grande

^netteté.

On

distingue

^{dans les}

figures

^{nettes de}

petits

espaces fortement

éclairés,

^des

lignes

^un peu ^moins brillantes et des espaces relative-

ment sombres. Les

petits

espaces ^très éclairés

correspondent

^aux

ventres de vibration et les

lignes

brillantes aux

lignes

ventrales. Il

est facile de s’en rendre compte. ^{Les ventres} de vibration et les espaces

qui

^les avoisinent immédiatement

forment,

par suite du

mouvement

vibratoire,

^de véritables miroirs

courbes,

^{tantôt con-}

caves, tantôt convexes, alternativement.

Lorsque

^la surface devient concave, les rayons réfléchis ^sont convergents ^et

l’éclairage

^est

très vif sur un

petit

espace. ^De là une succession d’illuminations

au même

point

de l’écran et une sorte de mouvement vibratoire

visible si la durée de la

période

^{est moindre} que celle de

l’impres-

sion sur la rétine. La même chose ^a lieu

jusqu’à

^{un certain}

_point

pour ^les

lignes

ventrales. Il en est tout autrement pour les

lignes nodales,

parce que, de part ^{et d’autre de ces}

lignes,

^{la surface est}

concave d’un côté et convexe de l’autre.

La

fig.

³

représente

^{la forme de la}

figure qu’on

^{obtient sur}

Ti g. ^3.

l’écran,

^{avec un vase carré de} à" de côté et du mercure sur une

profondeur

^de

m,56, lorsqu’on attaque

^le mercure au centre du carré et que la lame vibrante exécute cent

quarante-deux

^vibra-

tions doubles en trente secondes. Elle se rapporte ^à

la fig.

^{i .}

La

position

^{connue des} ventres des

lignes

^{ventrales et des}

lignes

nodales fait connaître le mode de division de la surface en mouvement.

Il serait facile de

projeter

^les

^figure,

^en

disposant

^au-dessus

de la surface

liquide

^un miroir incliné à

45° et en

^{recevant les} rayons réfléchis ^{sur une lentille}

qui

^{donnerait une}

image

^nette

sur un écran

vertical;

^{mais il faudrait alors}

employer

^{une source}

de lumière

beaucoup plus

^{intense et}

opérer

^{dans une chambre}

obscure.

Lorsqu’on

^veut déterminer la durée de la

période

^{du mouve-}

ment vibratoire

correspondant

^{à une certaine}

figure

^{de la}

surface,

il se

présente

^une difficulté

qui

^{tient à la}

production

^d1harnlo-

mouvement de la lame vibrante.

Mais,

^{si le mouvement} n’est pas trop

rapide,

^{on reconnaît} facilement la vraie

période qui

^corres-

pond

^{à cette}

figure.

^{Il suffit} de comparer le mouvement vibra- toire sur l’écran avec celui de la lame et de voir

s’il y

^a

synchro-

nisme.

La nécessité de cette

comparaison

^m’a

obligé

^{à ne}

jamais

^em-

ployer

^de mouvements vibratoires très

rapides.

Il y ^{a à} cela un autre avantage : c’est que ^les divisions de la surface sont

plus grandes

^et que les détails s’observent mieux. Mais on ne peut ^ob- tenir ainsi

qu’un

^nombre relativement restreint de

figures,

^celles

qui

^se rapportent ^{à des valeurs assez} faibles de ⁿ et n’.

Dans ces

conditions,

pour avoir avec exactitude la durée de la

période,

^il m’a suffi de faire _usage d’une montre à secondes. J’ai pu compter

jusqu’à

^{deux cent seize}

périodes

^{en trente secondes.}

L’opération

^{est facilitée} par les

petites

étincelles de

l’Interrupteur

et le bruit sec

qui

^les accompagne.

(-A suivre.) (A suivre.)

EXPÉRIENCES SUR LA COMPRESSIBILITÉ DES MÉLANGES GAZEUX;

PAR M. CAILLETET.

En

poursuivant

^mes recherches sur la

compression

^des gaz,

j’ai constaté,

ainsi que ^M. Andreyvs et

plusieurs

autres savants l’avaient

déjà fait,

que l’acide

carbonique mélangé

^{à l’air ne se}

liquéfie plus

avec la même facilité que l’acide pur.

J’ai étudié

également

^les

mélanges

^d’acide

carbonique

^{et de}

prot-

oxyde ^{d’azote avec}

l’oxygène, l’hydrogène

^et

l’azote, et j’ai

^constaté

plusieurs

faits intéressants

dont je poursuis

^{l’é tude en ce moment.}

J’emploie

pour ^mes recherches

l’appareil qui

^{m’a servi} pour la

liquéfaction

des gaz, ^et

je

^{mesure les}

pressions

^à l’aide d’un mano-

mètre à azote que

j’ai

^{décrit à} l’occasion de mes recherches sur la loi de Mariotte

(1 ).

En

comprimant

dans le tube de

l’appareil

^un

mélange

^{de 1vol}

(1) Voir Comptes ^rendus des séances de l’Academie des Sciences) t. LXXXVIII, p. 6 i .