II Forme d’une surface libre d’un liquide en rotation

(1)

TD correction Dynamique des fluides

I Tubes de Venturi

1. L’écoulement est permanent, incompressible puisque l’eau est un fluide incompressible, et parfait. On peut donc appliquer le theorème de Bernoulli à une ligne de courant passant parAetB, qui se trouvent

`

a la mˆeme altitude

µv_A²

2 `P_A“ µv_B²

2 `P_B ñP_A´P_B“ µ

2pv_B² ´v_A²q

En dehors du rétrécissement, l’écoulement est permanent, incompressible et unidirectionnel, donc sur une axe vertical, la pression suit la loi de l’hydrostatique

• •

A B C•

z_A z_B

On peut donc ´ecrire

P_A“P₀`µgz_A P_B“P₀`µgz_B ñP_A´P_B “µgpz_A´z_Bq Le fluide ´etant incompressible, il y a conservation du d´ebit volumique, donc

v_AS_A“v_BS_B et donc, en rempla¸cant

µgpz_A´z_Bq “ µ 2

˜ˆ SA

S_B

˙2

´1

¸ v_A² ce qui donne finalement l’expression de la vitesse en A

vA“ g f f e

2gpz_A´z_Bq

´SA

SB

¯2

´1

La lecture de la diff´erencezA´zBpermet donc de calculer la vitesse et de construire un appareil permettant la mesure du d´ebit.

2. Si la section est la même en C, alors l’altitude z_C est égale à z_A. En pratique, les effets de viscosité (dissipatifs) font que la charge (qui est une énergie volumique totale) diminue au cours du mouvement.

La hauteur zC est donc inf´erieure (voir cours viscosit´e).

II Forme d’une surface libre d’un liquide en rotation

1. L’équation d’Euler dans un référentiel non galiléen est µD~v

Dt “ ´ÝÝÑ

gradP `µ~g´µ~ae´µ~ac

(2)

avec~a_e“~apO¹q `^d~_dt^ω `~ω^ p~ω^ÝÝÝÑ

O¹Mq et~a_c“2~ω^~v. Ici, le fluide est au repos, donc~v“ÝÑ0 , ^D~_Dt^v “ÝÑ0 ,

~

ω est constant et le point O¹ est confondu avec O donc Ý

Ñ0 “ ´ÝÝÑ

gradP`µ~g´µω²r~e_z^ p~e_z^~e_rq “ ´ÝÝÑ

gradP`µ~g`µω²r~e_r que l’on r´e´ecrit

´ÝÝÑ

gradP´µg~e_z`µω²r~e_r“ÝÑ0

On projette cette équation sur les différents axes du système de coordonnées

´BP

Br `µω²r“0 ; 1 r

BP

Bθ “0 ; ´BP

Bz ´µg“0

P ne dépend donc pas de θ (symétrie de révolution), on intègre la première relation Ppr, zq “µω²r²

2 `fpzq On utilise ensuite la projection surOz

BP Bz “ df

dz “ ´µg ñ fpzq “ ´µgz`C o`u C est une constante. On a donc

Ppr, zq “µω²r²

2 ´µgz`C

En appelant h la hauteur de la surface libre en r “ 0, et en utilisant la condition sur la pression, on obtient

P₀“ ´µgh`C ñ C “P₀`µgh et donc

Ppr, zq “µω²r²

2 ´µgpz´hq `P0

2. L’équation de la surface libre est donnée par le lieu des points où Ppr, zq “P0, donc µω²r²

2 ´µgpz´hq `P₀ “P₀ ñ ω²r²

2 ´gpz´hq “0 ñ z“ ω²r² 2g `h qui est l’´equation d’un parabolo¨ıde de r´evolution autour de l’axe z

r z

h R c

3. Le creusementc est donn´e par

c“zpRq ´h“ ω²R²

2g `h´h“ ω²R² 2g Num´eriquement,

c“ 10²¨0.1² 2¨10 “ 1

20 “0.05m“5cm

(3)

III Vidange d’un r´ ecipient : r´ egime transitoire

1. L’´ecoulement est incompressible, donc div~v“0 et~v“vpx, tq~e_x, donc Bv

Bx “0 et donc la vitesse est uniforme~v“vptq~e_x.

2. On ´ecrit l’´equation d’Euler µ

ˆB~v

Bt `ÝÝÑ grad

ˆv² 2

˙

` pÝrotÑ~vq ^~v

˙

“ ´ÝÝÑ gradP`µ~g On ´ecrit tous les termes possibles sous la forme de gradients

µ ˆB~v

Bt `ÝÝÑ grad

ˆv² 2

˙

` pÝrotÑ~vq ^~v

˙

`ÝÝÑ

gradP`µÝÝÑ

gradpgzq “0 soit en regroupant les termes

µ ˆB~v

Bt ` pÝrotÑ~vq ^~v

˙

`ÝÝÑ grad

ˆ

P`µgz`µv² 2

˙

“0 On int`egre sur une ligne de courant passant par les pointsA,B etC

S

hptq

s L

•

• •

A

B

C ce qui donne

żC A

„ µ

ˆB~v

Bt ` pÝrotÑ~vq ^~v

˙

`ÝÝÑ grad

ˆ

P `µgz`µv² 2

˙

¨d~l“0

Le terme en gradient s’int`egre facilement. Le termepÝrotÑ~vq ^~v est un terme orthogonal `a la vitesse, donc

`

a d~l, ce qui donne une contribution nulle. Il reste donc ż_C

A

µ ˆB~v

Bt

˙

¨d~l`

„

P `µgz`µv² 2

C A

“0

Compte tenu du caractère incompressible de l’écoulement, on peut écrireSv_A“sv_B, et doncv_A“v_B_S^s ! vB. En dérivant cette expression par rapport au temps, on obtient que

Bv_A

Bt “ Bv_B Bt

s

S ! Bv_B Bt

La vitesse et l’accélération locale dans le réservoir sont donc très faibles devant les même grandeurs dans le tuyau d’évacuation. On néglige donc dans l’intégrale la partie de l’intégrale sur AB, donc

ż_C

A

µ ˆB~v

Bt

˙

¨d~l“ ż_C

B

µ ˆB~v

Bt

˙

¨d~l

(4)

Dans cette partie,~v“vptq~ex etd~l“dx~ex donc ż_C

B

µ ˆB~v

Bt

˙

¨d~l“ ż_C

B

µ ˆdv

dt

˙

¨dx Par cons´equent,

µdv dt

ż_C

B

¨dx`

„

P`µgz`µv² 2

C A

“0

Or,P_A“P_C “P₀,v_A“v_C_S^s !v_C. En posant h“z_A´z_C etv_C “v, on obtient Lµdv

dt ´µgh`µv² 2 “0 qui se simplifie par µ

Ldv

dt ´gh` v² 2 “0

En r´egime permanent, ^dv_dt “0, et on retrouve la vitesse de la vidange de Torricelli v_l“a

2gh 3. Pour obtenirvptq, on s´epare les variables

dv

2gh´v² “ 1 2Ldt On fait apparaitre la vitesse limite

dv

v_l²´v² “ 1 2Ldt et on int`egre chaque membre

ż_vptq

0

dv v²_l ´v² “

ż_t

0

1 2Ldt On reconnait à gauche l’intégrale fournie dans l’énoncé

żvptq 0

dv v_l²´v² “

żvptq 0

1 v²_l

dv 1´^v_v²2

l

en posant u“ _v^v

l etdu“ ^dv_v

l, l’int´egrale devient ż_vptq{v_l

0

1 vl

du 1´u² “ 1

vl

argth ˆv

vl

˙

`cste et donc, finalement

1 v_largth

ˆv v_l

˙

`cste“ 1 2Lt A t“0, v“0, donc la constante d’int´egration est nulle, et donc

vptq “v_lth

´v_l 2Lt

¯

Le temps caract´eristique apparaissant dans cette formule est τ “ ^2L_v

l, qui vaut donc en fonction des données de l’énoncé

τ “ 2L

?2gh

Numériquement,τ «0.4s. On peut donc considérer que le passage au régime permanent est très rapide.

(5)

4. On considère qu’à chaque instant, la relation de Torricelli est vérifiée vptq “a

2ghptq

Le fluide ´etant incompressible,v_AS“vptqs. Par ailleurs, v_A“ ´^dh_dt, donc vptq “v_AS

s “ ´dh dt

S s “a

2ghptq que l’on transforme afin de s´eparer les variables

´dh

?h “ s S

a2g On int`egre entret“0 ettv le temps de vidange

ż₀

h0

´dh

?h “ ż_t_v

0

s S

a2gdt ce qui donne

”

´2? h

ı0 h0

“a h₀“ s

S a2gt_v On en d´eduit le temps de vidange

t_v “ S s

d h g

IV Effet Magnus

1. Le potentiel est φ2 “kθ. par ailleurs,~v“ÝÝÑ

gradφ, on a donc, en coordonn´ees cylindriques v_r“ Bφ₂

Br “0 v_θ “ 1 r

Bφ₂ Bθ “ k

r v_z “ Bφ₂ Bz “0

Par ailleurs, sur la surface de contact, l’énoncé précise que le cylindre entraine le fluide (effet de viscosité).

La vitesse du cylindre en r“Rest donc ´egale `a la vitesse du fluide. On calcule la vitesse du cylindre en rotation uniforme

~v_cyl“Ω^ÝÝÑ

OM “Ω~ez^r~er“rΩ~e_θ En ´egalisant les deux expressions enr“R, on obtient

k

R “RΩ ñ k“ΩR² 2. On a l’expression du laplacien en coordonn´ees cylindriques

∆φ“ B²φ Br² `1

r Bφ Br ` 1

r² B²φ Bθ² ` B²φ

Bz² On calcule donc chacun des termes

B²φ

Br² “ B²φ₁

Br² `B²φ₂ Br² “ B²

Br² ˆˆ

1`R² r²

˙

rv₀cosθ

˙

`0“R²v₀cosθ2 r³

(6)

1 r

Bφ Br “ 1

r Bφ₁

Br “ 1 r

B Br

ˆˆ 1`R²

r²

˙

rv₀cosθ

˙

“ v₀cosθ

r ´R²v₀cosθ r³ 1

r² B²φ Bθ² “ 1

r² B²φ₁

Bθ² “ 1 r²

B² Bθ²

ˆˆ 1`R²

r²

˙

rv₀cosθ

˙

“ ´ ˆ1

r `R² r³

˙

v₀cosθ B²φ

Bz² “0 Finalement, le laplacien s’´ecrit

∆φ“R²v₀cosθ2

r³ `v₀cosθ

r ´R²v₀cosθ r³ ´

ˆ1 r `R²

r³

˙

v₀cosθ et en d´eveloppant

2R²v₀cosθ

r³ `v₀cosθ

r ´ R²v₀cosθ

r³ ´v₀cosθ

r ´R²v₀cosθ r³ “0 Or, l’´ecoulement ´etant incompressible et irrotationnel, div~v“0 et~v“ÝÝÑ

gradφ“0 impliquent divpÝÝÑ

gradφq “∆φ“0 ce qui est bien d´emontr´e.

3. En coordonn´ees cylindriques, on exprime les composantes du gradient de φ qui s’identifient aux composantes de la vitesse

$

’’

&

’’

%

v_r “ Bφ

Br “v₀cosθ´R²

r²v₀cosθ“v₀cosθ ˆ

1´R² r²

˙

v_θ “ 1 r

Bφ Bθ “ ´1

r ˆ

1` R² r²

˙

rv₀sinθ`k r “ ´

ˆ 1`R²

r²

˙

v₀sinθ`k r v_z “ Bφ

Bz “0

4. a“k{pRv0q “ΩR{v0 est un paramètre qui compare la vitesse angulaire de rotation du solide et la vitesse de l’écoulement à l’infini.

Les points d’arrˆets sont les points o`u la vitesse est nulle

$

’’

&

’’

%

v_r“v₀cosθ ˆ

1´R² r²

˙

“0

v_θ “ ´ ˆ

1`R² r²

˙

v₀sinθ`k r “0

ñ v_r“0 si

$

’’

&

’’

%

r “R ou θ“ ^π₂

ou θ“ ´^π₂ Si r“R

v_θ“ ´ ˆ

1`R² R²

˙

v₀sinθ` k

R “ ´2v₀sinθ`ΩR“0ñsinθ“ a 2 On a donc 3 cas :

– si aą2, il n’y a pas de solution, – si a“2, il y a une solutionθ“π{2,

– si aă2, il y a deux solutions, θ“θ0 etθ“π´θ0 avec θ0“arcsinpa{2q.

(7)

Si θ“π{2

vθ“ ´ ˆ

1`R² r²

˙ v0`k

r “ ´v0´R²v0

r² ` k

r “0ñ ´r²v0`ΩRr´R²v0 “0 On doit donc résoudre l’équation du seconde degré suivante

´r²`aRr´R²“0

dont le d´eterminant vaut ∆“a²R²´4R²“R²pa²´4qOn a donc 3 cas : – si aă2, ∆ă0 il n’y a pas de solution r´eelle,

– si a“2, ∆“0 il y a une solution pour r“ ^´aR_´2 “R, – si a ą2, il y a deux solutions, r “ ^´aR˘R

?a²´4

´2 “ ^aR˘R

?a²´4

2 Pour a ą 2, la seule solution telle quer ąR est la solution r“ ^aR`R

?a²´4

2 .

Si θ“ ´π{2

v_θ “ ˆ

1`R² r²

˙ v₀`k

r “v₀` R²v₀ r² `k

r “0ñr²v₀`ΩRrR²v₀“0 On doit donc résoudre l’équation du seconde degré suivante

r²`aRr`R² “0

dont le d´eterminant vaut ∆“a²R²´4R²“R²pa²´4qOn a donc 3 cas : – si aă2, ∆ă0 il n’y a pas de solution r´eelle,

– si a“2, ∆“0 il y a une solution pourr“ ^´aR₂ “ ´Ră0, donc une solution qui ne convient pas physiquement,

– si aą 2, il y a deux solutions, r “ ^´aR˘R

?a²´4

2 . La solution n´egative est ´evidemment impossible physiquement, la solution positive aussi car r ą 0 imposerait ?

a²´4 ą a, soit a²´4 ą a², soit

´4ą0, ce qui n’est pas possible.

Pour r´esumer

– si aă2, il y a deux solutions, r“R etθ“θ₀ ouθ“π´θ₀ avec θ₀ “arcsinpa{2q, – si a“2, il y a une solutionr“R etθ“π{2,

– si aą2, il y a une solutionr“ ^aR`R

?a²´4

2 etθ“π{2 d´ecoll´ee de la surface du solide.

5. L’´ecoulement est irrotationnel, donc la quantit´e P `µv²

2 `gz est constante dans tout l’´ecoulement. En n´egligeant la pesanteur

P `µv²

2 “P1`µv₁² 2 Au point de coordonn´ees pr “R, θ“π{2q

~

v1“v0cosθ ˆ

1´R² r²

˙

~er´ ˆ

1` R² r²

˙

v0sinθ~eθ`k

r~eθ “0~er´2v0~eθ`ΩR~eθ

donc

v₁²“ pΩR´2v0q² “v²₀pa´2q²

(8)

A la surface du cylindrer“R

~

v“v0cosθ ˆ

1´R² r²

˙

~er´ ˆ

1`R² r²

˙

v0sinθ~e_θ`k

r~e_θ “0~er´2v0sinθ~e_θ`ΩR~e_θ donc

v² “ pΩR´2v0sinθq² “v²₀pa´2 sinθq² ce qui permet d’´ecrire l’expression de la pression `a la surface du cylindre

Ppθq “P1` µv₀²

2 ppa´2q²´ pa´2 sinθq²q “P1`µv²₀

2 pa⁴´4a`4´ pa⁴´4asinθ`4 sin²θqq qui se simplifie

Ppθq “P₁`4µv₀²

2 papsinθ´1q `1´sin²θq “P₁`2µv²₀papsinθ´1q `cos²θq 6. La force exercée par unité de surface par le fluide est donnée par

δÝÑ

F “ ´PpθqdÝÑ S o`udÝÑ

S “hRdθ~er est l’élément de surface à la surface du cylindre de hauteurh. On s’intéresse aux forces dans le repère cartésien, on décompose donc~e_r “cosθ~e_x`sinθ~e_y et donc

Fx“ ż2π

0

´“

P1`2µv₀²papsinθ´1q `cos²θq‰

Rhcosθ dθ et

Fy “ ż_2π

0

´“

P1`2µv²₀papsinθ´1q `cos²θq‰

Rhsinθ dθ On calcule la premi`ere int´egrale

F_x “ ż_2π

0

´P₁Rhcosθ dθ´2µv²₀apsinθ´1qRhcosθ dθ`2µv²₀acos²θRhcosθ dθ

Les termes en cosθdonnent des intégrales nulles par symétrie de la fonction cos. De même pour le terme en cos²θcosθ. Le terme en sinθcosθest nul aussi, doncFx“0. On calcule ensuite la deuxième intégrale

F_y “ ż_2π

0

´P₁Rhsinθ dθ´2µv₀²apsinθ´1qRhsinθ dθ`2µv²₀acos²θRhsinθ dθ

Les termes en sinθdonnent des intégrales nulles par symétrie de la fonction sin. De même pour le terme en cos²θsinθ. Il reste le terme en sin²θ

Fy “ ´ ż_2π

0

2µv²₀asin²θRh dθ“ ´2µv²₀aRh ż_2π

0

1´cos 2θ

2 dθ“ ´2µv₀²aRhπ Finalement, il reste donc

Ý

ÑF “ ´2µv²₀aRhπ~e_y “ ´2µv₀ΩR²hπ~e_y

(9)

7. ~v0 “v0~ex etÝÑ

Ω “Ω~ez, donc Ý

ÑF “2mv0Ω~ex^~ez “ ´2mv0Ω~ey

Par identification avec la formule de la question 6.

m“µπR²h

qui représente la masse de fluide déplacée par l’immersion du cylindre.

8. ÝÑ

F “ ´2mv0Ω~ey

Si Ωą0, alors le cylindre tourne dans le sens direct et la force est dirig´ee vers le bas, si Ωă0, alors le cylindre tourne dans le sens indirect et la force est dirig´ee vers le haut.

V Cavitation

1. On poseτ “ka^α₀µ^βp^γ₈ avec

ras “L rµs “M L^´3 rp8s “ rFs

L² “ M LT^´2

L² “M L^´1T^´2 carf~“m~a. On obtient alors le syst`eme suivant

$

&

%

longueur : L^αL^´3βL^´γ “1 temps : T^´2γ “T masse : M^βL^γ “1

ñ

$

&

%

α´3β´γ “0

´2γ “1 β`γ “0 qui se r´esout facilement

$

&

%

γ “ ´¹₂ β`γ “0ñβ“ ¹₂ α´3β´γ “0ñα“1 et donc

τ “ka0

c µ p8

Plus la taille de la bulle est grande, moins elle implose vite. Au contraire, la pression extérieure fait imploser la bulle d’autant plus vite qu’elle est grande. Ces deux premiers résultats s’interprètent facilement. Enfin, plus la masse volumique est grande, plus le temps d’implosion est grand.

Numériquement, avec les données de l’énoncé τ “10^´3

c10³

10⁵ “0.1ms

(10)

2. Le fluide étant incompressible, le débit volumique à travers deux sphères concentriques de rayons a (surface de la bulle) et r est le même. Le mouvement étant radial, comme l’orientation de la surface

´

el´ementaire, on a

vpa, tq4πa² “vpr, tq4πr²

ce qui permet d’exprimer la vitesse `a une distancer, en constatant que vpa, tq “aptq9 vpr, tq “ a²a9

r² et vectoriellement

~vpr, tq “ a²a9 r² ~e_r L’´ecoulement est irrotationnel, donc ~v “ÝÝÑ

gradφ et en écrivant les composantes du gradient en coor- données sphériques

$

’’

&

’’

% Bφ Br “ a²a9

r² 1 r

Bφ Bθ “0 Bφ Bz “0 Le potentielφne d´epend donc que der et de t

dφ

dr “ a²a9

r² ñφpr, tq “ ´a²a9 r `fptq et en utilisant la condition `a la limiteφp8, tq “0 , on obtientfptq “0 donc

φpr, tq “ ´a²a9 r

3. On écrit l’équation d’Euler en négligeant l’effet de la pesanteur µ

ˆB~v

Bt `ÝÝÑ grad

ˆv² 2

˙

` pÝrotÑ~vq ^~v

˙

“ ´ÝÝÑ gradP L’´ecoulement est irrotationnel, donc

µ ˆB~v

Bt `ÝÝÑ grad

ˆv² 2

˙˙

“ ´ÝÝÑ gradP avec~v“ÝÝÑ

gradφ

µ

˜ BÝÝÑ

gradφ

Bt `ÝÝÑ grad

ˆv² 2

˙¸

“ ´ÝÝÑ gradP et en intervertissant les d´eriv´ees spatiales et temporelles

ÝÝÑgrad ˆ

µBφ Bt `µv²

2 `P

˙

“ÝÑ 0

(11)

d’o`u, en int´egrant

µBφ Bt `µv²

2 `P “fptq On remplace alors les grandeurs par leurs expressions

´µB Bt

ˆa²a9 r

˙

`µ 2

ˆa²a9 r²

˙2

`P “fptq donc

´µa²a:

r ´µ2a9a²

r `µa⁴a9²

2r⁴ `P “fptq

On utilise les conditions aux limites. A la surface de la bulle (r“a), la pression est nulle, donc

´µa²:a

a ´µ2aa9²

a `µa⁴a9²

2a⁴ “fptq ñ ´µa:a´µ2a9²`µa9²

2 “ ´µa:a´3

2µa9² “fptq et en rÑ 8,P “p₈

p₈“fptq En identifiant les deux derni`eres ´equations

p₈“ ´µa:a´3

2µa9²ñ2µa:a`3µa9²`2p₈“0

4. On fait apparaitredpa³a9²q{dt“3a²a9³`2a³a:9aen multipliant notre ´equation par a²a9 2µa³a:9a`3µa²a9³`2a²ap9 8 “0ñµdpa³a9²q

dt ` dpa³q dt

2

3p8 “0

On obtient donc une nouvelle int´egrale premi`ere du mouvement (ou constante du mouvement) µa³a9²`2

3a³p₈“C On utilise les conditions initiales sur a“a0 eta9 “0 `at“0

C “ 2 3a³₀p8 On réécrit l’équation

µa³a9²`2

3p₈pa³´a³₀q “0 et on divise para³ą0

a9² “ 2 3µp₈

ˆa³₀ a³ ´1

˙

La bulle implose, donc a9 ă0

a9 “ da dt “ ´

d 2 3µp8

ˆa³₀ a³ ´1

˙

On intègre cette équation entre 0 et t en séparant les variables ż_τ

0

dt“τ “ ´ ż₀

a0

da c

2 3µp₈

´_a3 0

a³ ´1

¯ “ c 3µ

2p8

ż_a₀

0

da ba³₀

a³ ´1

(12)

En posantx“a{a0,dx“da{a0

τ “ c 3µ

2p₈ ż₁

0

a0

dx b1

x³ ´1

On obtient une expression en accord avec celle trouv´ee par analyse dimensionnelle τ “a0J

c 3µ 2p8