Ex 131 p 160
1. a) j est dérivable sur [ 1 ; + ¥ [.
j ' (x) = 2x – 4x ln x – 2 x2 ´ 1
x = – 4x ln x or ln x > 0 sur [ 1 ; + ¥ [ donc j est décroissante sur [ 1 ; + ¥ [.
b) j(e) = 2 + e2 – 2 e2 = 1 – e2.
c) j est continue et strictement décroissante sur [ 1 ; e ], j(1) = 1 + 12 – 2 ´ 12 ´ ln 1 = 2 > 0 et j(e) = 1 – e2 < 0.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation j(x) = 0 admet une unique solution a dans [ 1 ; e ].
En utilisant la calculatrice, on obtient 1,8 < a < 1,9.
d) j est décroissante sur [ e ; + ¥ [ mais j(e) = 1 – e2 < 0 donc j(x) sur [ e ; + ¥ [.
a est l'unique solution à j(x) = 0 sur [ 1 ; + ¥ [.
Sur [ 1 ; a ], j(x) > 0 et sur [ a ; + ¥ [, j(x) < 0.
2. a) f est dérivable sur [ 1 ; + ¥ [.
f ' (x) = 1
x×(1+x2)−lnx×2x
(1+x2)2 = 1+x2−lnx×2x2
x(1+x2)2 = 1
x(1+x2)2 ´ j(x).
b) f ' est du signe de j donc est croissante sur [ 1 ; a ] et décroissante sur [ a ; + ¥ [.
c) Sur [ 1 ; + ¥ [, 0 £ 1
1+x2 £ 1
x2 et ln x ³ 0 donc 0 £ f(x) £ lnx x2 . d) lim
x→+∞
lnx
x2 = lim
x→+∞
1 x×lnx
x = 0 car lim
x→+∞
lnx
x = 0 et lim
x→+∞
1 x . En utilisant le théorème des gendarmes, on en déduit que lim
x→+∞ f(x) = 0.
