Corrigé Exercice 5 p 58.
x – ∞ - 2 0 2 + ∞
f(x) 0 3 0
1. La fonction f est strictement croissante et continue sur ] - ; 0 ].
Elle passe de valeurs négatives à f(0) = 3 donc il existe un unique réel appartenant à ] - ; 0 ] tel que f() = 0, d'après le théorème des valeurs intermédiaires. L'équation f(x) = 0 admet donc – 2 comme solution sur ] - ; 0 ].
La fonction f est strictement décroissante et continue sur [ 0 ; + [.
Elle passe de f(0) = 3 à des valeurs négatives à donc il existe un unique réel appartenant à [ 0 ; + [ tel que f() = 0, d'après le théorème des valeurs intermédiaires. L'équation f(x) = 0 admet donc 2 comme solution sur [ 0 ; + [.
2. La fonction f est strictement croissante et continue sur [- 2 ; 0 ].
Elle passe de f(- 2) = 0 à f(0) = 3 donc il existe un unique réel appartenant à [- 2 ; 0 ] tel que f() = 1, d'après le théorème des valeurs intermédiaires. L'équation f(x) = 1 admet donc une solution sur [- 2 ; 0 ].
La fonction f est strictement décroissante et continue sur [ 0 ; 2 ].
Elle passe de f(0) = 3 à f( 2) = 0 donc il existe un unique réel appartenant à
[ 0 ; 2 ] tel que f() = 1, d'après le théorème des valeurs intermédiaires. L'équation f(x) = 1 admet donc une solution sur [ 0 ; 2 ].
En conclusion, L'équation f(x) = 1 admet donc deux solutions sur [ - 2 ; 2 ].
3. a) f(x) < 0 admet pour ensemble de solution ] - ; - 2 ] [ 2 ; + [.
b) f(x) 0 admet pour ensemble de solution [ - 2 ; 2 ].
