UPMC 3M270 Algèbre 2017-2018
TD 9
Exercice 1. SoitGun groupe fini, produit direct de deux sous-groupesH1 etH2 d’ordres premiers entre eux.
1) SoitK un sous-groupe deG. On poseKi = K∩Hi pouri∈ {1,2}. Montrer que l’on a
K ' K1×K2 .
2) Trouver un contre-exemple si les ordres deH1et H2 ne sont pas premiers entre eux.
3) Montrer un résultat similaire pour un produit directH1× · · · ×Hn.
Exercice 2. Soient Gun groupe, ainsi queH etK deux sous-groupes distingués deG.
1) Montrer queH∩K est distingué dansG, et queG/(H∩K)s’injecte dansG/H×G/K.
2) On suppose que G soit fini et que l’indice de H soit premier avec celui de K. Montrer que l’on a un isomorphisme de groupes
G/(H∩K) ' G/H×G/K . Indication : calculer l’indice de H∩K dansGde deux façon différentes.
3) Montrer un résultat similaire pournsous-groupes distingués deG.
Exercice 3. Soient Gun groupe, ainsi que H et K deux sous-groupes de G. On note [H, K] le sous-groupe de G engendré par les commutateurs de la forme
[h, k] = hkh−1k−1 , oùhest un élément deH et kest un élément deK.
1) Montrer queH etK normalisent[H, K], c’est-à-dire sont inclus dansNG([H, K]).
2) Montrer que siH est distingué dansG, alors[H, K]est inclus dansH.
3) On suppose queH et K soient distingués dans Get d’intersection triviale. Montrer que les éléments de H commutent avec ceux de K, et que l’on a un isomorphisme de groupes
H·K ' H×K .
4) SoitGun groupe d’ordremn, avec met npremiers entre eux, ayant deux sous-groupes distinguésH et K d’ordres respectifs metn. Montrer queGest isomorphe àH×K.
Exercice 4. 1) Montrer qu’un groupe d’ordre pn, avecppremier etnau moins égal à2, n’est jamais simple.
2) Soientpetqdeux nombres premiers, avecq > pm. Montrer qu’un groupe d’ordrepmqn n’est jamais simple.
3) Montrer qu’un groupe d’ordre2n×3 n’est jamais simple.
4) Montrer que l’on a traité le cas de tous les entiers composés strictement plus petits que60, à l’exception de
30, 36, 40, 42, 45, 56 .
5) Montrer qu’un groupe dont l’ordre est un de ces six entiers n’est jamais simple.
Exercice 5. 1) Montrer que les éléments d’ordre2sont deux à deux conjugués dans A5. 2) Montrer qu’un sous-groupe distingué deA5 contenant un5-cycle les contient tous.
3) Montrer queA5 est simple.
Exercice 6. 1) Montrer qu’il existe dansA5 deux éléments non conjugués qui le sont dansS5. 2) Déterminer les classes de conjugaison deA5.
3) En déduire queA5 est simple.Indication : utiliser le théorème de Lagrange.
Exercice 7. SoitGun groupe simple d’ordre60. On va montrer queGest isomorphe àA5. 1) Montrer que le nombre de5-Sylow deGest égal à6.
2) Montrer que le nombre de3-Sylow deGest égal à4 ou10.
3) Montrer que ce nombre vaut10.
4) Trouver le nombre de2-Sylow deG, et conclure.
