ANALYSE I et II Semaine du 17 au 21 octobre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
S´erie 5 du mercredi 19 octobre 2011
Exercice 1.
Soit (an)∞n=0 une suite de nombres r´eels. Montrer que
∞
X
n=0
(an+1−an)
est une s´erie convergente si et seulement si la suite (an)∞n=0 est convergente.
Exercice 2.
Soit (an) une suite de nombres r´eels positifs ou nuls. Montrer que
∞
X
n=0
an <+∞
!
⇔
∞
X
n=0
an
1 +an <+∞
!
Indication: Pour montrer que
∞
X
n=0
an 1 +an
<+∞
!
⇒
∞
X
n=0
an<+∞
! ,
commencer par montrer que la suite (an)∞n=0 est born´ee et utiliser le th´eor`eme 2.5 du cours (crit`ere de com- paraison).
Exercice 3.
Soient (an)∞n=0 et (bn)∞n=0deux suites de nombres r´eels positifs pour lesquelles il existen0∈Ntel que pour tout entiern≥n0:
an+1
an
≤ bn+1
bn
. Montrer que:
∞
X
n=0
bn<+∞ ⇒
∞
X
n=0
an<+∞
et
∞
X
n=0
an= +∞ ⇒
∞
X
n=0
bn= +∞.
Indication: montrer que pour toutn > n0,an≤βbn o`u β=an0 bn0
.
