ANALYSE I et II Semaine du 3 au 7 octobre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
S´erie 3 du mercredi 5 octobre 2011
Exercice 1.
On d´efinitxn, n∈Npar
xn=
n
X
k=0
1 2k. D´emontrer que la suite (xn)∞n=0converge versx= 2.
Indication: Commencer par d´emontrer que six∈]0,1[ on a
n
X
k=0
xk =1−xn+1 1−x .
Exercice 2.
On d´efinitxn=
1 + 1 n
n
, n∈N∗. D´emontrer que la suite (xn)∞n=1 est convergente et que lim
n→∞xn >2.
(Le nombre lim
n→∞
1 + 1
n n
est important en analyse; c’est le nombre e).
Indications:
1o) En utilisant la formule du binˆome de Newton, d´emontrer que
1 + 1 n
n
≤
n
X
k=0
1
k!. (rappel: 0! = 1 par convention) 2o) En utilisant l’exercice 1, d´emontrer que la suite (xn)∞n=1est born´ee.
3o) En utilisant la formule du binˆome de Newton, d´emontrer que la suite (xn)∞n=1est croissante et conclure ensuite.
Exercice 3.
Calculer
n→+∞lim lnn!
5n . Indication: Utiliser la relation lnk≤k,∀k∈N∗.
Exercice 4 (* A r´ediger) .
Montrer que si les deux sous-suites (x2n)∞n=0 et (x2n+1)∞n=0 convergent vers la mˆeme limite`, la suite (xn)∞n=0 converge vers`.
