ANALYSE I et II Semaine du 3 au 7 octobre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
S´erie 3 du lundi 3 octobre 2011
Exercice 1.
Montrer que la suite (xn)∞n=0 d´efinie parx0= 1 et xn+1= 1
2(xn+ sin(xn) cos(xn)),∀n∈N converge. Calculer sa limite.
Indications
1.) Utiliser la relation|sin(t)|< t, ∀t >0 pour montrer quexn >0.
2.) Montrer que la suite (xn)∞n=0 est d´ecroissante, born´ee inf´erieurement.
Exercice 2.
Montrer que la suite (xn)∞n=0 d´efinie parx0= 3,x1= 2 et xn+1=p3
xn+xn−1 converge. Calculer sa limite.
Indications
Montrer r´ecursivement que 1< xn+1< xn< xn−1.
Exercice 3.
D´emontrer le th´eor`eme suivant:
Th´eor`eme: Soient (xn)∞n=0 une suite croissante et (yn)∞n=0 une suite d´ecroissante telles que lim
n→∞(xn−yn) = 0.
Alors on a
1.) pour toutn∈N:x0≤x1≤x2≤. . .≤xn ≤yn≤yn−1≤. . .≤y0. 2.) lim
n→∞xn= lim
n→∞yn.
