Corrig´ es de la s´ erie n˚ 3

Universit´e Abdelmalek Essaˆadi Ann´ee universitaire : 2019/2020 Facult´e des Sciences de T´etouan S.M.A. Semestre 6 D´epartement de Math´ematiques T.D. de Probabilit´es 2

Corrig´ es de la s´ erie n˚ 3

Exercice 1 :

On consid`ere une v.a. X qui suit une loi g´eom´etrique de param`etre p avec 0 < p < 1, alors,

∀k ∈X(Ω) ={1,2,· · · , n,· · · } on a :

P(X =k) =pq^k−1, avec q = 1−p Montrons que la loi g´eom´etrique n’a pas de m´emoire :

P(X >k) =P(X =k) +P(X =k+ 1) +· · ·

=pq^k−1(1 +q+· · ·)

= pq^k−1

1−q =q^k−1, d’o`u

P(X >k+k₀/X > k₀) = P(X >k+k₀, X >k₀+ 1) P(X >k₀+ 1)

= P(X >k+k₀)

P(X >k0+ 1), (car k > 1)

= q^k+k0−1

q^k0 =q^k−1 Conclusion : Pour tout k₀ >0 et k >1,

P(X >k+k₀/X > k₀) =P(X >k) Exercice 2 :

Soit X une v.a. qui suit la loi de Poisson de param`etre λ (λ >0) et Y une v.a. qui prend ses valeurs dans N. On suppose que n entier naturel,{Y /X =n} ∼ B(n, p). D´eterminons la loi Y. Pour cela, calculons P(Y =k).

P(Y =k) =P({Y =k} ∩Ω) =P({Y =k} ∩ ∪^∞_n=0{X =n})

=

∞

X

n=0

P(Y =k, X =n) =

∞

X

n=0

P(Y =k/X =n).P(X =n)

=

∞

X

n=k

λⁿ

n!e^−λC_n^kp^k(1−p)^n−k=e^−λ p

1−p k ∞

X

n=k

C_n^k(λ(1−p))ⁿ n!

= e^−λ k!

p 1−p

k ∞

X

n=k

(λ(1−p))ⁿ (n−k)!

Changement d’indice n−k=j, P(Y =k) = e^−λ

k!

p 1−p

k ∞

X

j=0

(λ(1−p))^j+k

j! = e^−λ k!

p 1−p

k

λ^k(1−p)^k

∞

X

j=0

λ^j(1−p)^j j!

= e^−λ k! p^kλ^k

∞

X

j=0

(λ(1−p))^j

j! = e^−λ

k! (λp)^ke^λ(1−p) = (λp)^k k! e^−λp Donc Y ∼ P(λp).

Exercice 3 :

Montrons que : X∼ P(λ)⇐⇒ ∀n ∈N^∗, P(X =n) = λ

nP(X =n−1) Soit X ∼ P(λ), alors ∀n∈N^∗, P(X =n) =λⁿe^−λ

n!

Donc ∀n∈N^∗, P(X =n) = λ

nλⁿ⁻¹ e^−λ (n−1)!

D’o`u ∀n∈N^∗, P(X =n) = λ

nP(X =n−1)

R´eciproquement, supposons que ∀n∈N^∗, P(X =n) = λ

nP(X =n−1) Alors, P(X =n) = λ

n. λ n−1. λ

n−2· · ·λP(X= 0) = λⁿ

n!P(X = 0) Or, on sait que

∞

X

n=0

P(X =n) = 1 Donc

∞

X

n=0

λⁿ

n!P(X = 0) =P(X = 0)

∞

X

n=0

λⁿ

n! =P(X = 0)e^λ = 1 D’o`u P(X = 0) =e^−λ et P(X =n) = λⁿe^−λ

i.e. X ∼ P(λ) n!

Exercice 4 :

Soit une v.a. X ∼ B(n, p)

1. Soit la v.a. Y =n−X, on a : P(Y =k) =P(X =n−k) =C_n^n−kp^n−k(1−p)^k

CommeC_n^n−k =C_n^k, on obtient P(Y =k) =C_n^k(1−p)^kp^n−k=C_n^k(1−p)^k(1−(1−p))^n−k DoncY ∼ B(n,1−p).

2. On a : P(X =k) = C_n^kp^k(1−p)^n−k etP(X =k−1) =C_n^k−1p^k−1(1−p)^n−k+1 donc P(X =k)

P(X =k−1) = C_n^kp

C_n^k−1(1−p) = (k−1)!(n−k+ 1)!

k!(n−k)!

p (1−p)

= (n−k+ 1)p

k(1−p) , d’o`u l’´egalit´e.

Calcul de P(X=k) par r´ecurrence : P(X =k) =P(X =k−1)(n−k+ 1)p

k(1−p)

=P(X =k−2)(n−k+ 2)(n−k+ 1)p² (k−1)k(1−p)

=P(X = 0)n· · ·(n−k+ 2)(n−k+ 1)p^k 1× · · · ×(k−1)k(1−p)^k

et comme P(X = 0) = (1−p)ⁿ etn· · ·(n−k+ 2)(n−k+ 1) = n!

(n−k)!, on retrouve la formule.

Exercice 5 :

Soit X une v.a. qui suit une loi normale centr´ee r´eduite (X ∼ N(0,1)). On consid`ere la v.a.

Y =X²

1. On a X ∼ N(0,1) ; donc fX(x) = ^√1_2πe^−x

2

2 , x∈R F_Y(y) = P(Y 6y) = P(X² 6y)

d’o`u deux cas `a distinguer :

1er cas : Siy60 ; F_Y(y) =P(X² 6y) = 0 car X² >0 (p.s.).

2`eme cas :Si y >0 ;F_Y(y) = P(X² 6y) =P(−√

y6X 6√ y)

= ^√1_2π R^√y

−√ ye^−x

2

2 dx= ^√2_2π R^√y 0 e^−x

2 2 dx f_X(x) ´etant une fonction paire.

Posonsx² =u⇒2xdx=du ⇒dx = ₂^du√_u On a FY(y) = ^√2_2π Ry

0 1

2e^−u2u⁻¹²du Or, on sait que√

π = Γ(¹₂), avec Γ la seconde fonction d’Euler d´efinie par : Γ(α) =R+∞

0 e^−tt^α−1dt on peut donc ´ecrire :

F_Y(y) = 1 2¹²Γ(¹₂)

Z y 0

u¹²⁻¹e^−u2du

de la forme F_Y(y) = _βαΓ(α)¹

Ry

0 u^α−1e^−βudu

ce qui est la fonction de r´epartition d’une v.a. suivant une loi gamma de param`etresα= ¹₂ etβ = 2.

Donc,

F_Y(y) =

( 0 si y60

1 2¹²Γ(¹₂)

Ry

0 u¹²⁻¹e^−u2du si y >0 ou encore : Y ∼Γ(α = ¹₂, β = 2)

D´efinition :

Dans ce cas particulier (β = 2 etα = ^m₂,m6= 2n). On dit que Y suit une loi de Khi-deux (X₁²) `a un degr´e de libert´e.

2. On en d´eduit la fonction de densit´e f_Y deY : f_Y(y) =

( 0 siy 60

√1

2πy¹²e^−y2du siy >0 car Γ(¹₂) =√

π Exercice 6 :

Soit X une v.a. qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [0,^π₂]. On consid`ere la v.a.Y = sinX

1. On a : X∼ U(0,^π₂), alors :

f_X(x) =

0 six /∈[0,^π₂]

2

π six∈[0,^π₂] On peut ´ecrireX(Ω) ⊂[0,1]

Pour y∈R, F_Y(y) =P(Y 6y) = P(sinX 6y) Trois cas sont `a envisager :

1er cas : Siy60

F_Y(y) =P(sinX 6y) = 0 car sinX ∈[0,1]

2`eme cas :Si 0 < y <1

FY(y) =P(sinX 6y) = P(X 6Arcsiny)

=

Z Arcsiny 0

2

πdx= 2

πArcsiny 3`eme cas :Si y>1

F_Y(y) =P(sinX 6y) = 1 car sinX ∈[0,1]

Donc, on peut ´ecrire que :

F_Y(y) =







0 si y60

2

π Arcsiny si 0 < y <1 1 si y>1 2. fY(y) = dF_Y(y)

dy = d dy

2

π Arcsiny

= 2

πp

1−y² pour 0< y < 1.

On a :

f_Y(y) =

( 0 si y /∈]0,1[

2 π√

1−y² si y∈]0,1[

Exercice 7 :

On dit qu’une v.a.Y suit une loi Log-normale de param`etres µetσ, et on note Y ∼ LN(µ, σ), si la v.a. X = lnY suit une loi normale N(µ, σ).

1. on a Y ∼ LN(µ, σ)⇐⇒X = lnY ∼ N(µ, σ);Y >0 PosonsZ = X−µ

σ = lnY −µ

σ =φ⁻¹(Y)∼ N(0,1) o`u φ⁻¹ est d´efinie pour y >0 etY =φ(Z) =e^σZ+µ avec la fonction φ continue et strictement monotone, donc, fY(y) =fZ(φ⁻¹(y))

(φ⁻¹(y))⁰

=fZ lny−µ σ

1 σy

avecf_Z(z) = ^√1

2πe^−12z2 Doncf_Y(y) = ¹

σy√

2πe⁻¹²(^lny−µσ )² poury >0.

D’o`u

f_Y(y) =

( 1 σy√

2πe⁻¹²(^lny−µ_σ )² siy >0

0 siy60

2. On peut ´ecrireF_Y(y) = Z y

−∞

f_Y(t)dt = Z y

−∞

1 σt√

2πe⁻¹²(^lnt−µσ )²dt Posonsu= lnt−µ

σ ⇒du= dt σt

On a alors F_Y(y) = 1

√2π Z u(y)

−∞

e^−12u2du

= 1

√2π

Z ^lny−µ_σ

−∞

e^−12u2du

= Φ

lny−µ σ

si y >0 Soit

F_Y(y) =

0 siy60 Φ ^lny−µ_σ

siy >0 La v.a. ^lnY_σ^−µ ´etant normale centr´ee r´eduite.

Exercice 8 :

Soit X une v.a. qui suit une loi hyperg´eom´etrique H(n, a, b)de param`etres n, a et b, alors P(X =k) = C_a^kC_b^n−k

C_a+bⁿ avec sup(0, n−b)6k6inf(a, n) Montrons que E(X) = na

a+b. On a : E(X) =

n

X

k=0

kC_a^kC_b^n−k

C_a+bⁿ = 1 C_a+bⁿ

n

X

k=0

kC_a^kC_b^n−k

= 1

C_a+bⁿ a

n

X

k=1

kC_a−1^k−1C_b^n−k

= a

C_a+bⁿ⁻¹C_a+b−1ⁿ⁻¹ = an a+b

On peut retrouver ce mˆeme r´esultat en consid´erant X comme une somme de n variables de Bernoulli X_i, i = 1,2,· · · , n, non ind´ependantes. Ces variables X_i ont mˆeme esp´erance math´ematique a

a+b.

En effet, E(X₁) = 0×P(X₁ = 0) + 1×P(X₁ = 1) =P(X₁ = 1) = a a+b E(X2) = 0×P(X2 = 0) + 1×P(X2 = 1).

CommeX₂ etX₁ ne sont pas ind´ependantes,

P(X₂ = 1) =P(X₂ = 1/X₁ = 1)P(X₁ = 1) +P(X₂ = 1/X₁ = 0)P(X₁ = 0)

= a−1 a+b−1

a

a+b + a a+b−1

b a+b

= a

a+b

a−1 +b a+b−1

= a

a+b; d’o`u E(X₂) = a

a+b.

De mˆeme, on trouve E(X₃) = · · ·=E(X_n) = a a+b

etE(X) = E(X₁+X₂+· · ·+X_n) =E(X₁) +E(X₂) +· · ·+E(X_n) =n a a+b V ar(X) = nab(a+b−n)

(a+b)²(a+b−1) En effet, V ar(X) =E(X²)−E(X)² et E(X²) =

n

X

k=0

k²C_a^kC_b^n−k C_a+bⁿ E(X²) = 1

C_a+bⁿ

" _n X

k=2

k(k−1)C_a^kC_b^n−k+

n

X

k=1

kC_a^kC_b^n−k

#

= 1

C_a+bⁿ

"

a(a−1)

n

X

k=2

C_a−1^k−2C_b^n−k+ an a+b

#

= 1

C_a+bⁿ

"

a(a−1)

n−2

X

k=2

C_a−1^k C_b^n−k+ an a+b

#

= 1

C_a+bⁿ

a(a−1)C_a+b−2ⁿ⁻² + an a+b

= a(a−1)b(n−1)

(a+b)(a+b−1) + an a+b. CommeE(X)² =

an a+b

2

, on en d´eduit V ar(X) = nab(a+b−n) (a+b)²(a+b−1).

De la mˆeme mani`ere que pour E(X), on peut retrouver ce mˆeme r´esultat en consid´erant X comme une somme de n variables de Bernoulli X_i, i= 1,2,· · · , n, non ind´ependantes.

En effet, V ar(X) =V ar

n

X

i=1

Xi

!

=

n

X

i=1

V ar(Xi) + 2X

i>j

Cov(Xi, Xj)

=

n

X

i=1

V ar(X_i) +X

i6=j

Cov(X_i, X_j) On a :

n

X

i=1

V ar(X_i) =n a a+b

b

a+b =n ab (a+b)² etCov(X_i, X_j) = E(X_iX_j)−

a a+b

2

=P(X_iX_j = 1)− a

a+b 2

avec P(X_iX_j = 1) =P(X_j = 1/X_i = 1)P(X_i = 1) =P(X_j = 1/X_i = 1) a a+b. CommeP(Xj = 1/Xi = 1) ne d´epend pas de i etj,P(Xj = 1/Xi = 1) = a−1

a+b−1; d’o`u : Cov(X_i, X_j) = a

a+b

a−1 a+b−1 −

a a+b

2

etV ar(X) = n ab

(a+b)² + a a+b

a−1 a+b−1 −

a a+b

2!

= nab(a+b−n) (a+b)²(a+b−1). Exercice 9 :

Soit la v.a.Xtelle queE(X) = µetV ar(X) =σ²existent. L’in´egalit´e de Bienaym´e-Tch´ebychev s’´ecrit, pour toutε∈R^∗+ :

P(|X−µ|>ε)6 σ² ε² En particulier pour ε= 3σ, on obtient :

P(|X−µ|>3σ)6 σ²

= 1

Donc P(|X−µ|<3σ)> ⁸₉ ≈0,888

Ainsi, toute v.a. s’´ecarte de son esp´erance math´ematique `a moins de 3σ avec une probabilit´e non inf´efieure `a ⁸₉. C’est le cas extrˆeme, le plus d´efavorable. Dans la pratique, pour les v.a.

qui se pr´esentent dans les cas courants, cette probabilit´e est bien plus proche de l’unit´e ; par exemple, pour la loi normale, elle est ´egale `a 0,997 ; pour la loi uniforme, `a l’unit´e ; pour la loi exponentielle, `a 0,982.

Exercice 10 :

Soient X ∼ P(λ₁) et Y ∼ P(λ₂), ind´ependantes.

Soit m, n∈Z⁺ avec m < n, et cherchons la probabilit´e conditionnelle P(X =m/X+Y =n) On a :

P(X =m/X+Y =n) = P(X =m, Y =n−m)

P(X+Y =n) = P(X =m).P(Y =n−m) P(X+Y =n)

= e^−λ1λ_m!^m1 e^{−λ2 λ}

n−m 2

(n−m)!

Pn

k=0e^{−(λ1+λ2)λ}_k!^{k1 λ}

(n−k) 2

(n−k)!

= e^−(λ1+λ2)

λm1λn−m 2 m!(n−m)!

e^{−(λ1+λ2) (λ1+λ}_n!²⁾ⁿ

=C_n^m λ^m₁ λ^n−m₂

(λ₁+λ₂)ⁿ =C_n^m

λ₁ λ₁+λ₂

m

1− λ₁ λ₁+λ₂

n−m

;m= 0,1,2,· · · , n Donc X/X+Y =n ∼ B(n, p) avec p= _λ^λ1

1+λ2. Exercice 11 :

Soient X et Y deux v.a. ind´ependantes telles que X ∼ B(n, p) et Y ∼ B(m, p). α et β ´etant deux nombres tels que α 6β. On veut calculer P(X =α/X+Y =β).

D’abord, on doit savoir que siX ∼ B(n, p) etY ∼ B(m, p), avecXetY deux v.a. ind´ependantes, alors, X+Y ∼ B(n+m, p).

En effet :

CommeX et Y sont ind´ependantes, on a : P(X+Y =β) = X

A

P(X =a).P(X =b) o`uA ={(a, b)/06a6n,06b6m, a+b =β}.

P(X+Y =β) =X

A

C_n^ap^a(1−p)^n−a.C_m^bp^b(1−p)^m−b P(X+Y =β) =X

A

C_n^a.C_m^b p^a+b(1−p)^n+m−(a+b) Or P

AC_n^a.C_m^b =Pn+m

β=a+b=0C_n^a.C_m^b =Pn

a=0C_n^aC_m^β−a =C_n+m^β En effet :

Consid´erons (1 +x)^n+m = (1 +x)ⁿ.(1 +x)^m. (1 +x)^n+m =

n+m

X

k=0

C_n+m^k x^k

(1 +x)ⁿ=

n

X

i=0

C_nⁱxⁱ

(1 +x)^m =

m

X

j=0

C_m^j x^j

On a donc Pn+m

k=0 C_n+m^k x^k =Pn

i=0C_nⁱxⁱ.Pm

j=0C_m^j x^j En identifiant les coefficients de x^k, on peut ´ecrire :

C_n+m^k =

n

X

i=0

C_nⁱC_m^j=k−i

D’o`u, en prenant i=a,j =b etk =β, C_n+m^β =Pn

a=0C_n^aC_m^β−a On en d´eduit que : P(X+Y =β) =C_n+m^β p^β(1−p)^n+m−β

i.e. X+Y ∼ B(n+m, p).

Calculons, maintenant, P(X =α/X+Y =β).

X etY ´etant ind´ependantes, on peut ´ecrire :

P(X =α/X+Y =β) = P(X =α, X+Y =β) P(X+Y =β)

= P(X =α/Y =β−α) P(X+Y =β)

= C_n^αp^α(1−p)^n−α.C_m^β−αp^β−α(1−p)^m−β+α C_n+m^β p^β(1−p)^n+m−β

= C_n^αC_m^β−αp^β(1−p)^n+m−β C_n+m^β p^β(1−p)^n+m−β Soit P(X =α/X+Y =β) = ^CnαC

β−α m

C_n+m^β

On voit, donc, que la loi deX conditionn´ee parX+Y =β est hyperg´eom´etrique de param`etres n+m, n etβ (que l’on note par H(n+m, n, β)).

Exercice 12 :

Consid`erons la loi trinomiale :

P(X =x, Y =y) = n!

x!y!(n−x−y)!p^x₁p^y₂p^n−x−y₃ , o`u (x, y)∈Z²+ etp_j >0 avec p₁+p₂+p₃ = 1.

1. Ona 0 6x6n et 06y6n−x. La loi marginale de X est donn´ee par : P(X =x) =

n−x

X

y=0

P(X =x, Y =y)

=

n−x

X

y=0

n!

x!y!(n−x−y)!p^x₁p^y₂p^n−x−y₃

= n!

x!(n−x)!p^x₁

n−x

X

y=0

(n−x)!

y!(n−x−y)!p^y₂p^n−x−y₃

=C_n^xp^x₁(p₂+p₃)^n−x =C_n^xp^x₁(1−p₁)^n−x;x= 0,1,· · · , n

2. La loi conditionnelle de Y par X =x sera :

P(Y =y/X =x) = P(X =x, Y =y) P(X =x) Donc, pour 06x6n et 06y6n−x, on a :

P(Y =y/X =x) =

n!

x!y!(n−x−y)!p^x₁p^y₂p^n−x−y₃

n!

x!(n−x)!p^x₁(1−p1)^n−x D’o`u :

P(Y =y/X =x) =

( (n−x)!

y!(n−x−y)!

p2

1−p1

y

p3

1−p1

n−x−y

si y= 0,1,· · · , n−x

0 autrement

Donc, c’est une loi B(n−x,_1−p^p2

1) Exercice 13 :

E(Y) = E(e^X) = Z +∞

−∞

e^xf(x)dx (Th´eor`eme de transfert)

= Z +∞

0

e^xλe^−λxdx=λ Z +∞

0

e^−(λ−1)xdx

Pour λ−1>0, c’est-`a-dire pour λ >1, cette int´egrale existe, elle vaut E(Y) = _λ−1^λ . Pour λ61, elle est divergente.

E(Y²) =E((e^X)²) = E(e^2X)

= Z +∞

−∞

e^2xf(x)dx (Th´eor`eme de transfert)

=λ Z +∞

0

e^2xλe^−λxdx=λ Z +∞

0

e^−(λ−2)xdx

Pour λ > 2, cette int´egrale existe et vaut _λ−2^λ , alors que la variance V ar(X) = _λ−2^λ − _λ−1^λ 2

, pourλ 62, l’int´egrale est divergente et la variance V ar(Y) n’existe pas.