ANALYSE I et II Semaine du 7 au 11 novembre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
S´erie 8 du lundi 7 novembre 2011
Exercice 1.
Montrer que la fonctionf :R→Rd´efinie par f(x) =
(x six /∈Q 1−x six∈Q est continue en 12 et discontinue ailleurs.
Exercice 2.
Soitf :R∗→Rla fonction d´efinie par
f(x) =xsin1
x+ cos 1 p|x|. Peut-on la prolonger par continuit´e en 0 ?
Exercice 3 (* A r´ediger) .
D´efinition: SoitD⊂R, non vide. On dit queDest ouvert si∀x∈D,∃ δ >0 tel que ]x−δ, x+δ[⊂D.
Exercice: SoitD⊂R,D6=∅un ouvert et soitf une fonction continue d´efinie surD.
1) D´emontrer que si B⊂ R(f) est ouvert, alorsA=f−1(B) est aussi ouvert.
2) D´emontrer que si, de plus,f est injective, alors l’image d’un ouvertA⊂D parf est ouvert etf−1est continue.
