ANALYSE I et II Semaine du 14 au 18 novembre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
S´erie 9 du mercredi 16 novembre 2011
Exercice 1.
A chaque entiern≥0, on associe la fonction polynomialePn : [0,1]→Rd´efinie parP0(x) = 0 et Pn+1(x) =Pn(x) +1
2 x−Pn2(x) . 1.) Montrer que pour toutx∈[0,1] et tout entier n≥0:
0≤Pn(x)≤Pn+1(x)≤√ x.
2.) En d´eduire que la suite (Pn)∞n=0 converge uniform´ement vers la fonction f : [0,1] → R d´efinie par f(x) =√
x.
3.) Montrer qu’il existe une suite de fonctions polynomialesQn : [−1,1]→R qui converge uniform´ement vers la fonctiong: [−1,1]→Rd´efinie parg(x) =|x|.
Indication: Commencer par montrer par r´ecurrence que 0≤Pn(x)≤√
x,∀x∈[0,1],∀n= 0,1,2. . . .
Exercice 2.
A chaque entiern≥1, on associe la fonctionfn: [1,3]→Rd´efinie par fn(x) =x 1 + √n
nx .
Montrer que la suite (fn)∞n=1est uniform´ement convergente.
Indication: Montrer que n+1√
n+ 1≤ √n
n,∀n≥3 en utilisant le r´esultat du cours p. 18.
Exercice 3.
SoitD⊂Ret soitfn:D→R, n∈Nune suite de fonctions d´efinies surD. On suppose qu’il existef :D→R telle que lim
n→∞fn =f uniform´ement surD. On suppose de plus que fn, n∈Net f sont d´efinies au voisinage dex0∈R, que lim
x→
6=x0fn(x) =αn, n∈Net lim
n→∞αn=α. D´emontrer que lim
x→
6=x0f(x) =α.
