ANALYSE I et II Semaine du 7 au 11 novembre 2011 Math. et Phys. 1`ere ann´ee
Prof. J. Rappaz
Corrig´e 8 du mercredi 9 novembre 2011
Exercice 1.
D´eterminer si les fonctions suivantes sont ou non uniform´ement continues et justifier votre r´eponse.
1.) Soitm∈N∗. On d´efinit la fonctionf : [0,∞[→Rparf(x) =xm.
• Sim= 1, la fonction est trivialement uniform´ement continue puisque∀x, y∈[0,∞[, on a la relation
|f(x)−f(y)|=|x−y|.
• Si m >1, la fonction n’est pas uniform´ement continue. En effet, il suffit de poser, pourn∈N∗, xn=n, yn=n+ 1
n. On a bien sˆur lim
n→∞(xn−yn) = 0 et|f(xn)−f(yn)|=
n+n1m
−nm≥1,∀n∈N∗, ce qui prouve quef n’est pas uniform´ement continue.
2.) Soitm∈N∗et α >0 un nombre r´eel. On d´efinit la fonctionf : [0, α[→Rparf(x) =xm. On a, pourx, y∈[0, α[, |f(x)−f(y)|=|xm−ym|=|x−y|
xm−1+xm−2y+. . .+xym−1+ym−1 ≤
|x−y|mαm−1. Ainsi, si > 0 est donn´e, il suffit de poserδ= mαm−1 pour avoir l’uniforme continu´e def.
On aurait aussi pu prolongerf en une fonctiongd´efinie sur l’intervalle ferm´e [0, α], utiliser le th´eor`eme (3.5) du cours pour la fonctionget revenir f.
3.) On d´efinit la fonctionf : [0,∞[→Rparf(x) =√ x.
Puisque f est strictement croissante sur [0,∞[, on a, pour x < y: √ x√
y ≥ √ x√
x = x et donc (√
y−√
x)2 =y+x−2√ y√
x ≤y−xet finalement √ y−√
x≤ √
y−x. Ainsi, pour x, y ≥ 0, on a |f(x)−f(y)| ≤ p
|x−y|. Donc, si > 0 est donn´e, il suffit de poser δ =2 pour avoir l’uniforme continu´e def.
Exercice 2.
Soitf : [0,+∞[→Runiform´ement continue. Alors il existeα, βtels que∀x, y∈[0,∞[ on a |f(x)| ≤αx+β. D´emonstration :
1.) En prenant ε = 1, par continuit´e uniforme, il existe δ > 0 tel que |f(x)−f(y)| ≤ 1 si |x−y| ≤ δ, x, y∈[0,+∞[.
2.) Sin∈Non a en utilisant le point 1.),
|f(nδ)−f(0)| ≤ |f(nδ)−f((n−1)δ)|+|f((n−1)δ)−f((n−2)δ)|+. . .+|f(δ)−f(0)| ≤n.
3.) Six∈[0,+∞[ et sim= [xδ], on a|x−mδ| ≤δet donc|f(x)−f(mδ)| ≤1. Ainsi
|f(x)| ≤ |f(x)−f(mδ)|+|f(mδ)| ≤1 +|f(mδ)| ≤1 +m+|f(0)| ≤1 +x
δ +|f(0)|.
Il suffit donc de prendreα=1δ et β= 1 +|f(0)|.
Exercice 3.
Soita∈Ret f :]a,∞[→Rune fonction continue. On suppose que
x→lim
>af(x) =`1 et lim
x→∞f(x) =`2. Montrons quef est uniform´ement continue.
Soit >0.
• Puisque lim
x→∞f(x) =`2, il existeβ > a tel que∀t≥β,|f(t)−`2| ≤ 4. On en tire alors que∀x, y≥β,|f(x)−f(y)| ≤ 2.
• Puisque lim
x→>af(x) =`1, la fonctionf se prolonge par continuit´e `a droite ena. Ainsi,f est uniform´ement continue sur ]a, β] et il existeδ >0 tel que∀x, y∈]a, β] avec|x−y| ≤δ, on ait|f(x)−f(y)| ≤ 2.
• Poura < x≤β ≤yavecy−x≤δ, on a:
|f(x)−f(y)| ≤ |f(x)−f(β)|+|f(β)−f(y)| ≤.
Finalement, ∀x, y ∈]a,∞[ avec |x−y| ≤ δ, on a |f(x)−f(y)| ≤ , ce qui montre que f est uniform´ement continue sur ]a,∞[.
Exercice 4.
Soita < b etf : [a, b]→[a, b] croissante. Alorsf admet un point fixe.
D´emonstration : PosonsE ={x∈[a, b] tel quef(x)≤x}. Puisquef(b)≤b, on a queb∈E et doncE 6=∅. En outre,x∈E⇒a≤x;Eest donc minor´e para. On peut alors poserc= inf E. Montrons quecest le point fixe cherch´e. Clairementc∈[a, b] et on a soitc=f(c), soitc > f(c), soitc < f(c).
1) Supposons quec < f(c). On a donca≤c < f(c)≤b, ainsi quec6∈Epuisque f(c)> c.
Par les propri´et´es de l’inf, il existed∈E tqc < d < f(c).
Puisquef est croissante, on a f(c)≤f(d), et avecd < f(c), il vientd < f(d). Ce qui contredit le fait qued∈E.
2) Supposons maintenant quec > f(c). On a donc a≤f(c)< c≤b. Soit dtel quef(c)< d < c. Puisque d < c= infE, d 6∈ E. Puisque f est croissante, on a f(d) ≤f(c) et donc f(d) < d et alors d ∈ E.
Contradiction.
3) Il reste doncc=f(c), donccest un point fixe.
Le r´esultat est faux sif est d´ecroissante. En effet, la fonctionf : [0,1]→[0,1] d´efinie par
f(x) =
1/2, si 0≤ x <1/2, 1/4, si 1/2≤ x ≤1, n’a pas de point fixe dans [0,1].
